新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.3.2 对称矩阵的对角化.ppt

性质1实对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是实向量。证明略定理1的意义性质：设l1,l2,…,lm是方阵A的特征值，p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,…,lm各不相同，则p1,p2,…,pm线性无关．（P.134性质3）性质2设l1和l2是实对称阵A的特征值，p1,p2是对应的特征向量，如果l1≠l2，则p1,p2正交．（P.148性质2）证明：Ap1=l1p1，Ap2=l2p2，l1≠l2l1p1T=(l1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA（A是对称阵）l1p1Tp2=p1TAp2=p1T(l2p2)=l2p1Tp2(l1?l2)p1Tp2=0因为l1≠l2，则p1Tp2=0，即p1,p2正交．性质3设A为n阶实对称阵，l是A的特征方程的k重根，则矩阵A?lE的秩等于n?k，恰有k个线性无关的特征向量与特征值l对应．§5.3.3实对称矩阵的对角化定理5：设A为n阶实对称阵，则必有正交阵P，使得P?1AP=PTAP=L，其中L是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵（P不唯一）.（P.149定理5）定理1：n阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量．（P.138定理1）性质3设A为n阶实对称阵，l是A的特征方程的k重根，则矩阵A?lE的秩等于n?k，恰有k个线性无关的特征向量与特征值l对应．（P148）例：设，求正交阵P，使P?1AP=L对角阵.解：因为A是对称阵，所以A可以对角化．求得A的特征值l1=?2，l2=l3=1．当l1=?2时，解方程组(A+2E)x=0．，得基础解系．当l2=l3=1时，解方程组(A?E)x=0．，得．令，则.问题：这样的解法对吗？当l1=?2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为.显然，必有x1⊥x2，x1⊥x3，但x2⊥x3未必成立．于是把x2,x3正交化：此时x1⊥h2，x1⊥h3，h2⊥h3．单位化：当l1=?2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为.当l1=?2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为于是p1,p2,p3构成正交阵从而．把对称阵A对角化的步骤为：求出A的所有各不相同的特征值l1,l2,…,ls，它们的重数依次为k1,k2,…,ks（k1+k2+…+ks=n）．对每个ki重特征值li，求方程组|A?liE|=0的基础解系，得ki个线性无关的特征向量． 把这ki个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到ki个两两正交的单位特征向量． 因为k1+k2+…+ks=n，总共可得n个两两正交的单位特征向量．