新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.5 化二次型为标准形.ppt

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定义:如果n阶矩阵A满足ATA=E,即A?1=AT,则称矩阵A为正交矩阵,简称正交阵.定理:设A为n阶实对称阵,则必有正交阵P,使得P?1AP=PTAP=L,其中L是以A的n个特征值为对角元的对角阵(P不唯一).(P.149定理5)定理8任给二次型f(x)=xTAx(其中A=AT),总存在正交变换x=Py,使f化为标准形f(Py)=l1y12+l2y22+…+lnyn2其中l1,l2,…,ln是f的矩阵A的特征值.例:求一个正交变换x=Py,把二次型f=-2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形.解:二次型的矩阵经过计算可得有正交阵使得于是正交变换x=Py把二次型化为标准形f=-2y12+y22+y32

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