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§4.3三角函数的图像与性质
基础自测
1.
①在(0,)上递减;②以2为周期;③是奇函数.()
A.y=tanxB.y=cosxC.y=-sinx
D.y=sinxcosx
答案C
2.下列函数中,周期为的是
(
A.y=sinB.y=sin2xC.y=cosD.y=cos4x
答案D
3.设函数y=acosx+b(a、b为常数)的最大值是1,最小值是-7,那么acosx+bsinx的最大值是
()
A.1B.4C.5
D.7
答案C
4.函数y=|sinx|的一个单调增区间是
()
A.B.C.D.
答案C
5.(2008·全国Ⅱ理,8)若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M、N两点,则|MN|
的最大值为()
A.1B.C.
D.2
答案B
例1求下列函数的定义域:
(1)y=lgsin(cosx);(2)=.
解(1)要使函数有意义,必须使sin(cosx)>0.
∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1.
方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-+2k<x<+2k,k∈Z}.
方法二利用单位圆中的余弦线OM,依题意知0<OM≤1,
∴OM只能在x轴的正半轴上,
∴其定义域为.
(2)要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.
方法一利用图像.在同一坐标系中画出[0,2]上y=sinx和y=cosx的图像,如图所示.
在[0,2]内,满足sinx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2,
所以定义域为.
方法二利用三角函数线,
如图MN为正弦线,OM为余弦线,
要使sinx≥cosx,即MN≥OM,
则≤x≤(在[0,2]内).
∴定义域为
.
方法三sinx-cosx=sin≥0,
将x-视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图像和性质
可知2k≤x-≤+2k,
解得2k+≤x≤+2k,k∈Z.
所以定义域为.
例2求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;
(3)y=2cos+2cosx.
解(1)y==
2
=2cosx+2cosx=2-.
于是当且仅当cosx=1时取得y=4,但cosx≠1,
max
∴y<4,且y=-,当且仅当cosx=-时取得.
min
故函数值域为.
2
(2)令t=sinx+cosx,则有t=1+2sinxcosx,
即sinxcosx=.
有y=f(t)=t+=.
又t=sinx+cosx=sin,
∴-≤t≤.
故y=
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