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第二十二讲特征值和特征向量典型题

第二十二讲特征值和特征向量典型题

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特征值与特征向量典型题

1、特征值与特征向量

1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为?

1

??1,?

2

???1，对应于?

3 1

的特征向量为?

1

?(0,1,1)T，求A

【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个

线性无关特征向量?,?,?

1 2 3

后，由公式

A(?,?,?)?(??

,??,??

);可解出A?(??,??,??

)(?,?,?)?1

1 2 3

11 22 33

11 22 33

1 2 3

【详解】设对应于?

2

???1的特征向量为??(x,x

3 1 2

,x)T，根据A为实对称矩阵的

3

假设知?T?

1

?0，即x ?x

2 3

?0，解得?

2

?(1,0,0)T,?

3

?(0,1,?1)T

于是由A(?,?,?)?(??,??,??)

1 2 3 11 22 33

A?(??,??,??)(?,?,?)?1

11 22 33 1 2 3

有 ?0 1

0??0 1

0??1

?1 0 0?

? ??? ? ????1 0 1??1 0 1?

? ??

? ? ?

???1 0 ?1????1

0 ?1??

??0 ?1 0??

2．（98，填4题，3分）设A为n阶矩阵，A?0，A*为A的伴随矩阵，E为n

阶单位矩阵，若A有特征值?

，则(A*)2?E

必有特征值

( )2?1

A?

A

A【分析】本题从特征值、特征向量的定义Ax??x,x?0进行推导即可

A

【详解】设

A即

A

Ax??x(x?0)，则

A从而

A

A?1x?

1x?AA?1x?

?

A

A

?x,(x?0)

A*x? x

?

可见

(A*)2x?(?

A必有特征值

A

)2x [(A*)2?E]x?[(

?

)2?1]x,x?0

(A*)2?E

( )2?1

?

n?1

3．（99，填4题，3分）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 n,0, ,0

【分析】因为r(A)=1，所以?E?A??n?? a

ii

?n?1

??1 ?1 ?1 ??n ?1 ?1

?E?A? ?1

?－1

－1 ??n

＝

?－1 －1

【详解】因为

－1 －11

?1??10＝（?－n

?1

?

?1

0

＝（?－n）?n-1

0

?

0

?－1

??n －1

?－1

故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重）

n?1

因此本题应填n,0, ,0

? a ?1 c?

4．（99，十题，8分）设矩阵A?? 5 b 3?，其行列式A??1，又A的伴随矩

阵A*有一个特征值?

0

，属于?

0

? ?

??1?c 0 ?a??

的一个特征向量为??(?1,?1,1)T，求a、b、c和?的

0

值

【分析】利用AA*?AE，把A*????转化为?

A????是本题的关键

0

【详解】根据题设有A*????，又AA*

0

? AE??,E于是AA*??A????

A?,即

0 0 0

? a ?1 c???1? ??1?

????

0

A?;也即?

? 5 b 3???1?????1?

?

? ?? ? ? ?

??1?c 0 ?a????1?? ??1??

??(?a?1?c)?1

? 0

由此可得 ??(?5?b?3)?1 解此方程组，得?

?1,b??3,a?c

? 0 0

??(?1?c?a)??1

?

0

a ?1 c

又由A??1和a?c，有 5 b

1?c 0

3?a?3??1

a

故a?c?2,因此a?2,b??3,c?2,? ?1

0

?3 2 2? ?0 1 0?

? ? ? ?5.（03，九题，10分）设矩阵A??2 3 2?，P??1 0 1