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第十四章:勾股定理
§14.1勾股定理一.知识点:
对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有a2+b2=c2,这种关系我们称为勾股定理.(我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的称为股,斜边称为弦)
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
直角三角形的判定:如果三角形的三边长a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
二.学习过程:
按教材的思路讲解,带领同学一起做推导的例子,并归纳相关的知识点。
和学生一起完成课后习题。
讲下关于勾股定理的史话。
三.例题及习题:
教材中的题目。
§14.2勾股定理的应用
一.知识点:
1.能够用勾股定理解决涉及直角三角形的实际问题。
二.学习过程:
按教材的思路讲解,带领同学一起做推导的例子,并归纳相关的知识点。
和学生一起完成课后习题。
三.例题及习题:
教材中的题目。
勾股定理经典例题
勾股定理是把形的特征(三角形中有一个角是直角),转化为数量关系(a2
+b2=c2),不仅可以解决一些计算问题,而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题,特别是证明线段间的一些复杂的等量关系.在几何问题中为了使用勾股定理,常作高(或垂线段)等辅助线构造直角三角形.
勾股定理的逆定理是把数的特征(a2+b2=c2)转化为形的特征(三角形中的
一个角是直角),可以有机地与式的恒等变形,求图形的面积,图形的旋转等知识结合起来,构成综合题,关键是挖掘“直角”这个隐含条件.
△ABC中 ∠C=Rt∠?a2+b2=c23.为了计算方便,要熟记几组勾股数:
①3、4、5;
②6、8、10;
③5、12、13;
④8、15、17;
⑤9、40、41.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.
一般地说,在平面几何中,经常
利用直线间的位置关系,角的相互关系而判定直角,从而判定直角三角形,而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形,一般步骤是:
确定最大边;
算出最大边的平方,另外两边的平方和;
比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等,若相等,则说明是直角三角形;
勾股数的推算公式
①罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家1789――1853)
任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2,2mn, m2+n2是一组勾股数。
②如果k是大于1的奇数,那么k,
k2?1,k2?1是一组勾股数。
2 2
?K?2 ?K?2
③如果k是大于2的偶数,那么k,?
?
? ?1,?
2? ?
? ?1是一组勾股数。
2?
④如果a,b,c是勾股数,那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
典型例题分析
例1在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜放置的三个正方
形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S、S、S、S,则
S+S+S+S=
1 2 3 4
1 2 3 4
依据这个图形的基本结构,可设S、S、S、S的边长为a、b、c、d
1 2 3 4
则有a2+b2=1,c2+d2=3,S=b2,S=a2,S=c2,S=d2
1 2 3 4
S+S+S+S=b2+a2+c2+d2=1+3=4
1 2 3 4
5例2已知线段a,求作线段 a
5
55a2
5
5a2
4a2?a2
5∴ a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
5
59a
5
9a2?4a2
5∴ a是以3a为斜边,以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。
5
作图(略)
例3如图:(1)以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形,则这三个等边△的
面积,S、S、S之间有何关系,说明理由。
1 2 3
如图(2),以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆,则这三个半圆的面积S,
1
S,S之间有何关系?
2 3
如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180°,成为图(3),请验证:“两
个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)
分析:
中S,S,S的表示均与直 角三角形的边长有关。
1 2 3
可得出S,S,S
1 2 3
S+S=S
的关系,S+S=S
1 2 3
所以根据勾股定理
(2)类似于(1):(3)图中阴影
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