课时提升作业 三十 32(二).docx

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课时提升作业三十

简单的三角恒等变换(二)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.tan15°+cos15°sin15°

A.1 B.2 C.4 D.6

【解析】选C.原式=sin15°cos15°

=s

=1sin15°cos15°=22sin15°cos15°=

2.(2016·济宁高一检测)f(x)=cos

A.x=π2 B.x=

C.x=π3 D.x=

【解析】选A.f(x)=cos2x-sin2x2=

3.已知tanα2=3，则cosα=

A.45 B.-

C.-35 D.

【解析】选B.tanα2=3，故tan2α2=sin2α2

4.将函数y=3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()

A.π12 B.π6 C.π3

【解析】选B.由已知y=23

=2sinx+

当m=π6时，平移后函数为y=2sinx

5.(2016·梅州高一检测)函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间π4,

A.1 B.2 C.32

【解析】选C.f(x)=1-cos2x2+

=12+sin2

当x∈π4,π2时，2x-

sin2x-π6∈1

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.函数f(x)=(1+3tanx)cosx的最小正周期为__________.

【解析】因为f(x)=(1+3tanx)cosx=cosx+3sinx=2cosx-π3

答案：2π

7.已知向量a=(3，4)，b=(sinα，cosα)，且a∥b，则tan2α=________.

【解析】因为a∥b，所以34=sinαcosα

所以tan2α=2tanα1-tan2α

答案：24

8.已知cos2x=13，x∈π2,π，

【解析】因为x∈π2

则2x∈(π，2π)，又因为cos2x=13

所以sin2x=-22

sin4x=2sin2xcos2x=2×-223×1

答案：-4

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.化简：(1+sinx+cosx)sinx2-cos

【解析】原式=

1

=2

=2

=cos

=-cos

因为πx2π，π2x2π，所以cos

所以原式=-cos

10.证明：2-2sinα+3

【证明】左边

=2

=2

=1-cos2α+

=sin

=cosα+sinαcosα-sinα=

所以原式成立.

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.若cos2θ+cosθ=0，则sin2θ+sinθ的值等于()

A.0 B.±3

C.0或3 D.0或3或-3

【解析】选D.由cos2θ+cosθ=0

得2cos2θ-1+cosθ=0，所以cosθ=-1或12

当cosθ=-1时，有sinθ=0；

当cosθ=12时，有sinθ=±3

于是sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0或3或-3.

【误区警示】解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解的错误.

2.已知cos2α-cos2β=a，那么sin(α+β)·sin(α-β)等于()

A.-a2 B.a2 C.-a

【解题指南】把sin(α+β)与sin(α-β)展开，使用平方差公式后，将正弦转化为余弦可得答案.

【解析】选C.sin(α+β)sin(α-β)

=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)

=sin2αcos2β-cos2αsin2β

=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)

=cos2β-cos2α=-a.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.在△ABC中，sin(C-A)=1，sinB=13，则sinA的值为________

【解题指南】首先根据题目条件求角C-A，再根据三角形内角和定理分析角A和角B的关系，最后先求sin2A

【解析】由C-A=π2，且C+A=π

得A=π4-B

所以sinA=sinπ4-B

所以sin2A=12(1-sinB)=

又因为sinA0，所以sinA=33

答案：3

4.(2016·太原高一检测)点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT=1，∠PAB=α，则四边形ABTP的面积最大时α=________.

【解析】如图，连接PB.

因为AB为直径，所以∠APB=90°.

因为∠PAB=α，AB=1，

所以PB=sinα，PA=cosα.

又PT切圆于P点，则∠TPB=∠PAB=α.

所