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六神中学翟升华綦小丰

以几何图形为载体的探究题，一直是中考的热点题型之一，这种试题设计新颖，富有创意，百花齐放，各有千秋，以题串题，“题”陈出新.有效地考查了学生的钻研精神、探索能力和创新意识.下面让我们一起欣赏2014年中考平面几何探究试题.

一、以三角形为载体的探究题

例1（江苏盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．

【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；

【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD?CE=DE?BC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

析解：【问题情境】如下图②，按照小军、小俊的证明思路即可解决问题．证明：连接AP，如图②.

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP+S△ACP，（面积法）

∴AB?CF= AB?PD+ AC?PE．

∵AB=AC，∴CF=PD+PE．

还有其他方法读者自证.

【变式探究】如下图③，借鉴小军、小俊的证明思路即可解决问题．过点C作CG⊥DP，垂足为G，如图③．

∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，∴∠CFD=∠FDG=∠DGC=90°．

∴四边形CFDG是矩形．∴CF=GD，∠DGC=90°．∴∠CGP=90°．

∵PE⊥AC，∴∠CEP=90°．∴∠CGP=∠CEP．

∵CG⊥DP，AB⊥PD，∴∠CGP=∠BDP=90°．∴CG∥AB．∴∠GCP=∠B．

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．

∵∠ACB=∠PCE，∴∠GCP=∠ECP．

在△CGP和△CEP中， ∴△CGP≌△CEP．

∴PG=PE．∴CF=DG=DP﹣PG=DP﹣PE．

【结论运用】易证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，如下图④，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可．

过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．

∵AD=8，CF=3，∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．

由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．∴DF=5．

∵∠C=90°，∴DC===4．

∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．∴四边形EQCD是矩形．

∴EQ=DC=4．

∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB．

∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF．由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．

∴PG+PH=4．∴PG+PH的值为4．

【迁移拓展】由条件AD?CE=DE?BC联想到三角形相似，从而得到∠A=∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM与△CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是△ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解决问题．

延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图⑤．

∵AD?CE=DE?BC，∴ =．

∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE=∠BCE=90°．∴△ADE∽△BCE．∴∠A=∠CBE．

∴FA=FB．

由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH．设DH=xdm，则AH=AD+DH=（3+x）dm．

∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°．∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2．

∵AB=2，AD=3，BD=，∴（）2﹣x2=（2）2﹣（3+x）2．解得：x=1．

∴BH2=BD2﹣DH2=37﹣1=36．∴BH=6．∴ED+EC=6．

∵∠ADE=∠BCE=90°，且M、N分别为AE、BE的中点，

∴DM=EM=