等差数列的性质教案.docx

第7-8课时

【教学题目】§6.2等差数列的性质

【教学目标】

理解等差数列的概念；

掌握等差数列的通项公式；

掌握等差数列的前n项和公式；

理解等差数列的性质.

【教学内容】

等差数列的概念；

等差数列的通项公式；

等差数列的前n项和公式；

理解等差数列的性质.

【教学重点】

理解等差数列的性质.

【教学难点】

理解等差数列的性质.

【教学过程】

一、知识点梳理

（一）等差数列的定义

a ?a ?d；

n?1 n

（二）等差数列的递推公式

a ?a ?d；

n?1 n

（三）等差数列的通项公式

n

（四）等差数列的前 项和公式

a ?a

n 1

??n?1?d；

n?a?a? n?n?1?

S ???1 nn 2

S ?na? d.

n 1 2

二、新授———等差数列的性质

（一）等差数列的定义式：a ?a ?d（d为常数）（n?2）；

n n?1

（二）等差数列通项公式：

a ?a

n 1

?(n?1)d?dn?a

1

d(n?N*) ， 首项:a

1

，公差:d，末项:a

n

a ?a

推广：a

n

?a ?(n?m)d． 从而d?n m；

n?m

（三）等差中项

如果a，A，b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项．即： A?a?b或

2

2A?a?b．

等差中项

数列?a

n

?是等差数列?2a

n

?a

n-1

a

n?1

(n?2,n?N+)?2a

n?1

?a ?a

n

．

n?2

等差数列的前n项和公式

n(a?a) n(n?1) d 1

S ???1 n ?na? d? n2?(a? d)n?An2?Bn．

n 2 1 2 2 1 2

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n?1时，a 是项数为2n+1的等差数列的中间项．

?2n?1??a?a ?

n?1

S

2n?1

???1 2n?1

2

??2n?1?a

n?1

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项）．

（四）等差数列的判定方法

定义法：若a

n

a

?n??1

?d或a

a

n?1 n

?d(常数n?N?)? ?a

n

?是等差数列．

等差中项：数列a

是等差数列?2a ?a

?a (n?2)?2a

?a ?a ．

? ? n ?

n n-1

n?1

n?1

n?2

数列a

是等差数列

a ?kn?b（其中k,b是常数）．

?n? n

数列a

n

是等差数列?S

n

?An2?Bn,（其中A、B是常数）．

（五）等差数列的证明方法

定义法：若a

n

a

n?1

?d或a

a

n?1 n

?d(常数n?N?)? ?a

n

?是等差数列．

等差中项性质法：2a

n

?a

n-1

a

n?1

(n?2，n?N?)．

（六）提醒：

等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a

1

、d、n、a

n

及S，其

n

中a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3

1

求2．

设项技巧：

①一般可设通项a

n

?a?(n?1)d；

1

②奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差为2d）.

（七）等差数列的性质：

当公差d?0时，

等差数列的通项公式a

n

?a?(n?1)d?dn?a

1 1

d是关于n的一次函数，且斜率为公差

d；

n(n?1) d d

前n和S

?na?

d? n2?(a

)n是关于n的二次函数且常数项为0.

n 1 2 2 1 2

若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，

则为常数列.

当m?n?p?q时,则有a ?a

m n

?a ?a

p q

，特别地，当 m?n?2p时，则有

a ?a?2a.

m n p

注：a?a ?a?a

?a?a ????.

?1