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课时提升作业(二十二)
平面向量数量积的
物理背景及其含义
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)=()
A.4 B.3 C.2 D.0
【解析】选D.因为a∥b且a⊥c,所以b⊥c,从而c·b=c·a=0.所以c·(a+2b)=c·a+2c·b
2.(2015·汕头高一检测)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a·(b-a)=-1,则a与b的夹角为()
A.π6 B.π4 C.π3
【解析】选C.因为|a|=2,a·(b-a)=-1,
所以a·(b-a)=a·b-a2=a·b-22=-1,所以a·b=3.
又因为|b|=3,
设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=32×3
又θ∈[0,π],所以θ=π3
3.若等边三角形ABC的边长为1,则|AB→-2
A.1 B.2 C.2 D.3
【解析】选D.因为(AB→-2AC→)2=AB→2-4AB→·AC→+4AC→?2
所以|AB→-2AC
4.设a,b,c是三个向量,有下列命题:
①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;
②若a·b=0,则a=0或b=0;
③a,b反向?a·b=-|a||b|;
④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|
其中正确的有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.①中,a·b-a·c=a·(b-c)=0,
又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即①不正确;
②中,a·b=0?a⊥b或a=0或b=0,即②不正确;
③当a,b反向时,a·b=-|a||b|成立,反之,当a·b=-|a||b|时,a,b反向,故命题③正确.
④中,左边=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|2=右边,即
5.(2015·重庆高考)已知非零向量a,b满足b=4a,且a⊥(2a+b),则a与b
A.π3 B.π2 C.2π3
【解题指南】直接利用向量的数量积运算即可求出向量的夹角.
【解析】选C.设向量a,b的夹角为θ,由b=4a及a⊥(2a+b),得a·(2a+b)=2a2+abcosθ=2a2+4a2cos
所以θ=2π
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·天津高一检测)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在b方向上的投影为.
【解析】向量a在b方向上的投影是a·b|b|=-
答案:-4
7.(2015·湖北高考)已知向量OA→⊥AB→,|OA→|=3,则
【解析】因为向量OA→⊥AB→,所以OA→·AB→=0,即OA→·(OB→-OA
答案:9
8.已知△ABC中,|AB→|=|AC→|=4且AB→·
【解析】由|AB→|=|AC→|=4,AB
又0°A180°,则A=60°,故△ABC是等边三角形.
答案:等边三角形
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·临沂高一检测题)设向量e1,e2的夹角为60°,且|e1|=|e2|=1,若AB→=e1+e2,BC→=2e1+8e2,CD→=3(
(1)证明:A,B,D三点共线.
(2)试确定实数k的值,使得向量2e1+e2与向量e1+ke2垂直.
【解析】(1)因为AB→=e1+e
BD→=BC→+CD→=2e1+8e2+3(e1-e2)=5(
所以BD→=5AB→,即
又直线AB,BD有公共点B,
故A,B,D三点共线.
(2)因为(2e1+e2)⊥(e1+ke2),
所以(2e1+e2)·(e1+ke2)=0,
即2e12+2ke1·e2+e1·e2+k
2+2k×1×1×cos60°+1×1×cos60°+k=0,
即2k+52=0,解得k=-5
10.(2015·常州高一检测)设向量a,b满足|a|=|b|=1,|3a-b|=5
(1)求|a+3b|的值.
(2)求3a-b与a+3b夹角的正弦值
【解析】(1)由|3a-b|=5,得(3a-b)
所以9a2-6a·b+b2=5,因为a2=b2=1,所以a·b=56.因此(a+3b)2=a2+6a·b
所以|a+3b|=15.
(2)设3a-b与a+3b的夹角为θ
因为(3a-b)·(a+3b)=3a2+8a·b-3b2
所以cosθ=(3a-b)·(a+3b)|3a-b||a+3b|=203
因为0°≤θ≤180°,所以sinθ=1-cos2θ=1-4392=339,所以
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.如图,已知正六边形P1P2P3P4P
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