第7讲 因式分解.docx

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第七讲 因式分解

知识要点

因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解。

判断一个恒等变形是不是因式分解，首先其结果是否是“积”的形式，如果不是积的形式，肯定不是因式分解。

因式分解定义中所说的“积”是几个整式的积。

提公因式法：ma?mb?mc?m(a?b?c)

确定公因式：公因式=各项系数的最大公约数。

将多项式除以它的公因式，从而得到的多项式的另一个因式。

运用公式法：

平方差公式：a2?b2

?(a?b)(a?b)

完全平方公式：a2?2ab?b2

?(a?b)2

分组分解法：分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式或运用公式法等的应用创造条件，即先把多项式各项适当分组，以达到最后能用提公因式或运用公式等分解因式的目的。

分组后能直接提公因式。

分组后能直接运用公式。

x2?(p?q)x?pq型式子的因式分解，即

x2?(p?q)x?pq

=x2?px?qx?pq

=(x2?px)?(qx?pq)

=x(x?p)?q(x?p)

=(x?p)(x?q)

十字相乘法：x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

求根公式法：在分解二次三项式ax2

?bx?c(a?0)

的因式时，可先用公式求

出方程ax2

(a?0)

?bx?c?0(a?0)

的两个根x,x

1 2

，然后写成ax2?bx?c?a(x?x

1

)(x?x)

2

典型例题

例1 3x(x?2)?2?(2?x)2?x

例2 (x?2y)(2x?3y)?2(2y?x)(5x?y)

例3 ax(a?b?1)?ay(a?b?1)?az(b?a?1)

例4 (x?y)2(x?y)2

?2(x?y)3?(y?x)4

例5 4m2

?9(m?n)2

?12m(m?n)

例6 16(a?b)2

?9(a?b)2

例7 若m、n是方程是 。

x2?2002x?1?0

的两个实数根，则m2n?mn2?mn的值

例8 若点P（a+b,－5）与（1，3a－b）关于原点对称，则关于x的二次三项式

x2?2ax?b

2

可以分解为 。

例9 5x3?15x2

?x?3

例10 ab(x2

?1)?x(a2

?b2)

例11

x2?y2

?4y?4

例12 (a?c)(a?c)?b(b?2a)

例13

a2b2

?(a?b)2

?2ab?1

例14 (x?y)(x?y?2xy)?(xy?1)(xy?1)

例15

x2?y2

?2x?4y?3

例16 (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?120

例17 已知x2

?5x?990?0，求x3?6x2

?985x?1012

的值。

例18 将a2

值。

?(a?1)2

?(a2

?a)2分解因式后，并利用分解的结果计算72?82

?562的

例19

3(a?2b)4

?39(a?2b)2

?108

例20 x4

?2x3?3x2

?4x?12

例21

(6x?7)2(3x?4)(x?1)?6

例22 x2

2xy?y2

?3x?3y?2

例23

?x2?6x?1??x2

?x?1??12x2 例24 x3?6x2

?11x?6

例25

2(a?b)2

?c(a?b)?6c2 例26 (m?1)x2

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