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高等数学期末复习资料第

高等数学期末复习资料

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高等数学（本科少学时类型）

○无穷小与无穷大?的?相关定理与推论（?★?★）

（定理三）假设f x为有界函数，gx为无穷小，

第一章 函数与极限第一节 函数

则lim??f?x??g?x????0

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f?x?为

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）

○邻域（去心邻域）（★）

无穷大，则f?1

?x?为无穷小；反之，若f

?x?为无

U?a,????x|x?a???

U?a,????x|0?x?a???

穷小，且f?x??0，则f?1?x?为无穷大

【题型示例】计算：lim??f?x??g?x???（或x??）

x?x

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

1．∵f

?x?

0

≤M∴函数f

?x?

在x?x

00

0

的任一去心

【题型示例】已知数列?x

?，证明lim?x

??a

邻域U?x

,??内是有界的；

n

【证明示例】??N语言

x?? n

（∵f

?x?≤M，∴函数f

?x?

在x?D上有界；）

由x

n

?a??化简得n?g???，

limg?x??0即函数g?x?是x?x

0

时的无穷小；

∴N???g?????

x?x

0（limg

0

?x?

?0即函数g

?x?

是x??时的无穷小；）

2．即对???0，?N???g?????，当n?N时，始终

x??

由定理可知lim??f

?x??g

?x????0

有不等式x

a??成立，

x?x

0

0

??n

?

?

∴limx ?a

x?? n

第三节 函数的极限

（lim??f?x??g?x????0）

x??

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★）

x?x

时函数极限的证明（★）

??

（定理一）加减法则

0

【题型示例】已知函数f

???

?x?

，证明

limf

0x?x

0

x?A

（定理二）乘除法则

??关于多项式p?x?、q

??

【证明示例】 语言 ??

1．由f?x??A??化简得0?x?x ?g???，

??px?axm

?axm?1???a

0∴??g???

0

设：??q?x?

?0

?

?bxn

?

1 m

?bxn?1???b

?? 0 1 n

?a2．即对???0，???g?

?a

，当0?x?x

??时，

?? n?m

始终有不等式f

?x?

0

A??成立，

p?x? ?

∴limf?x??A

x?x

x?0?时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x??A

则有lim

x??

q?x???0

0?b?

0

?b

?f?x?

n?m

n?m

???0

g?x

??0

??X

x??

?g?x??0

【证明示例】 语言

f?x? ? 0

? ? ? ?

1．由f?x??A??化简得x?g???，

lim ???

g x ?0,f x ?0

?? x?x0g?x? ?0 0 0

∴X?g?

? g?x??f?x

??0

2．即对???0，?X?g???，当x?X时，始终有

??0 0 0

不等式f?x??A??成立，

（特别地，当lim

f?x?

?

0

x?

x?x0

∴limf?x??A

x??

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小?与?无穷大的本质（★?）?

g?x? 0

子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

函数f

x无穷小?limf

x?0

【题型示例】求值lim

x?3

函数f?x?无穷大?limf?x???

x?3

x2?9

【求解示例】解：因为x?3，从而可得x?3，所以原

?2x?3?x?1 ?2x?1?2?x?1

? 2 ?x?1

x