点、直线、平面之间的位置关系.docx

1、平面含义：平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示 D C

平面的画法：水平放置的平面通常画成

一个平行四边形，锐角画成450，且横边 α

A B

画成邻边的2倍长（如图）。

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3、公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为

A∈L

α·B∈L =L

α·

A∈α L

B∈α

公理1的作用：判断直线是否在平面内。

4、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

A B

符号表示为：A、B、C三点不共线=有且只有一个平

面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2的作用：确定一个平面的依据。

α· C ·

·

5、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β =α∩β=L，且P∈L

公理3的作用：判定两个平面是否相交的依据

β

α P L

·

6、空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点

共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

7、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b =a∥c

c∥b

公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4的作用：判断空间两条直线平行的依据。

8、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。

9、两条异面直线所成的角θ∈(0，2 )。

10、计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

点、直线、平面之间的位置关系 1

11、当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形。

12、直线与平面有三种位置关系：

直线在平面内——有无数个公共点

直线与平面相交——有且只有一个公共点

直线在平面平行——没有公共点

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示。

a α a∩α=A a∥α13、两个平面之间的位置关系：

两个平面平行——没有公共点

两个平面相交——有一条公共直线

14、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：

α

β =a∥αa∥b

15、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。符号表示：

a∥α

a β a∥b

α∩β=b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

16、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

β

β

a∩b=P β∥α

a∥αb∥α

点、直线、平面之间的位置关系 2

17、判断两平面平行的方法有三种：

用定义；

判定定理；

垂直于同一条直线的两个平面平行。

18、两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ=a a∥b

β∩γ=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。

19、如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L

p

α

20、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（1)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

（2)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

21、直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a//a,b//b,

我们把相交直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。

22、平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

22、两直线所成角的取值范围：[0o,90o]

直线和平面所成角的取值范围：[0o,90o]

平面的斜线和平面所成的角的取值范围：(0o,90o)

直线垂直于平面，所成的角是直角；直线平行于平面，所成的角是00

23、平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。

l

α

24、