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课时分层作业(二十四)幂函数
一、选择题
1.(多选题)下列命题中正确的是()
A.幂函数的图象不可能是一条直线
B.幂函数y=xα,当α0时是增函数
C.幂函数y=xα,当α0时,在第一象限内函数值随x的增大而减小
D.幂函数的图象不可能在第四象限
CD[当α=1时,y=xα图象为一条直线,幂函数y=x2,当x∈(0,+∞)时是增函数,x∈(-∞,0)时为减函数,CD正确.]
2.设α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(-1,0,\f(1,2),1,2,3)),则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为()
A.1 B.2
C.3 D.4
B[使函数y=xα的定义域为R的有1,2,3,其中为奇函数的有1,3.]
3.已知幂函数f(x)=(m2-3)x-m在(0,+∞)为增函数,则实数m的值为()
A.eq\r(3) B.±2
C.2 D.-2
D[因为函数f(x)=(m2-3)x-m为幂函数,所以m2-3=1,所以m=±2,因为函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以-m0,因此m=-2,故选D.]
4.若f(x)是幂函数,且满足eq\f(f?9?,f?3?)=2,则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))=()
A.16 B.4
C.eq\f(1,16) D.eq\f(1,4)
D[因为函数f(x)是幂函数,设f(x)=xα,由题设eq\f(9α,3α)=2?3α=2,所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq\s\up12(α)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3α)))eq\s\up12(2)=eq\f(1,4).]
5.已知函数f(x)=xk(k∈Q),在下列函数图象中,不是函数y=f(x)的图象的是()
AB
CD
C[函数f(x)=xk(k∈Q)为幂函数,图象不过第四象限,所以C中函数图象不是函数y=f(x)的图象.故选C.]
二、填空题
6.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xeq\s\up12(n2-3n)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为________.
1[由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,
解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.]
7.已知m=(a2+3)-1(a≠0),n=3-1,则m与n的大小关系为________.
mn[设f(x)=x-1,已知a≠0,
则a2+330,f(x)在(0,+∞)上是减函数,
则f(a2+3)f(3),即(a2+3)-13-1,
故mn.]
8.若幂函数y=xeq\s\up12(eq\f(m,n))(m,n∈N*且m,n互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是________.
①m,n是奇数且eq\f(m,n)1;②m是偶数,n是奇数,且eq\f(m,n)1;③m是偶数,n是奇数,且eq\f(m,n)1;④m,n是偶数,且eq\f(m,n)1.
③[由题图知,函数y=xeq\f(m,n)为偶函数,m为偶数,n为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以eq\f(m,n)1,选③.]
三、解答题
9.比较下列各组数的大小:
(1)3eq\s\up12(eq\f(1,2))和3.1eq\s\up12(eq\f(1,2));
(2)8eq\s\up12(-eq\f(4,3))和(-9)eq\s\up12(-eq\f(4,3));
(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(2,3)),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,5)))eq\s\up12(eq\f(2,3))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(1,3)).
[解](1)构造函数f(x)=xeq\s\up12(eq\f(1,2)),此函数在[0,+∞)上是增函数.∵33.1,
∴3eq\s\up12(eq\f(1,2))3.1eq\s\up12(eq\f(1,2)).
(2)构造f(x)=xeq\s\up12(-eq\f(4,3)),函数是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,
∴(-9)eq\s\up12(-eq
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