递推数列求通向.docx

形如a ?a ?f(n)型

n?1 n

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

若f(n)为常数,即：a

a

n?1 n

?d,此时数列为等差数列，则a=a

n 1

?(n?1)d.

若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由a ?a ?f(n)得：

n?1 n

n?2时，a ?a ?f(n?1)，

n n?1

a ?a ?f(n?2)，

n?1 n?2

??

a ?a ?f(2)

3 2

a ?a ?f(1)

2 1

?所以各式相加得a ?a ?f(n?1)?f(n?2)? ?f(2)?f(1)

?

n 1

即：a

n

?a ??n?1

1

k?1

f(k).

为了书写方便，也可用横式来写：

?n?2时，a ?a ?f(n?1)，

?

n n?1

??a ?(a ?a )?(a ?a )? ?(a ?a)?a

?

n n n?1 n?1 n?2 2 1 1

?=f(n?1)?f(n?2)? ?f(2)?f(1)?a.

?

1

n例1.（2003天津文）已知数列｛a｝满足a

n

1

?1,a

n

?3n?1?a

n?1

(n?2),

证明a

n

?3n?1

2

证明：由已知得：a ?a ?3n?1,故

n n?1

a ?(a

n n

a

n?1

)?(a

n?1

a

n?2

)? ?(a

?2

?

a)?a

1 1

=3n?1?3n?2???3?1?

3n?1. ?a ?3n?1

.2 n 2

.

例2.已知数列?a

n

?的首项为1，且a

n?1

?a ?2n(n?N*)写出数列?a

?n n

?

的通项公式.

答案：

n2?n?1

例3.已知数列{a

n

}满足a

1

?3，a

n

?a ?

n?1

1

n(n?1)

(n?2)，求此数列的通项公式.

答案：a

n

?2?1

n

评注：已知a ?a,a ?a ?f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项a.

1 n?1 n n

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例4.已知数列{a}中,

n

a ?0且S

n n

?1(a

2 n

n)

a

n

,求数列{a}

n

的通项公式.

1 n 1 n

解:由已知S ?

(a ? )得S ? (S ?S ? ),

n 2 n a

n

n 2 n

n?1

S ?S

n

n?1

化简有S2

n

S2

n?1

?n,由类型(1)有S2

n

?S2

1

?2?3???n,

又S ?a得a

1 1 1

?1,所以S2?

n

n(n?1)2

,又a

n

?0,s ?

2n(n

2n(n?1)

,

2n(n

2n(n?1)? 2n(n?1)

n 2

此题也可以用数学归纳法来求解.

a形如n?1?f(n)型

a

a

n

a

当f(n)为常数，即：n?1

a

n

?q（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，a=a

n 1

qn?1.

当f(n)为n的函数时,用累乘法.

a a

由n?1

a

n

?f(n)得 n?2时， n ?f(n?1)，

a

n?1

aaa?a ???n

a

a

a

n?1

???2?a

=f(n)f(n-1)??f(1)?a.

n a

n?1

a a 1 1

n?2 1

例1.设?a

?是首项为1的正项数列，且?n?1?a2

na2?a

a ?0（n=1，2，3，?），则它的通项公式是a

= .

n n?1 n n?1 n n

解：已知等式可化为：(a ?a)?(n?1)a ?na??0

n?1 n n?1 n

?a ?0

?

n

(n?N*)?

(n+1)

a

n?1

na

n

?0, 即

a

n?1

a

n