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高阶线性微分方程常用解法简介
关键词:高阶线性微分方程 求解方法
在微分方程的理论中,线性微分方程是非常值得重视的一部分内容,这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚,而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.
讨论如下n阶线性微分方程:dnx?a
dn?1x?
a (t)dx?a
(t)x?f(t)
dtn
1 dtn?1
n?1 dt n
(1),其中a(t)(i=1,2,3, ,n)及f(t)都是区间a?t?b上的连续函数,如果
i
f(t)?0,则方程(1)变为
dnx?a
(t)dn?1x?
a (t)dx?a
(t)x?0 (2),
dtn
1 dtn?1
n?1 dt n
称为n阶齐次线性微分方程,而称一般方程(1)为n阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性微分方程.
欧拉待定指数函数法
此方法又叫特征根法,用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如
L[x]?
dnx?a
dn?1x?
dtn
1dtn?1
a dx
a dx?ax?0,(3)其中a,a
n?1dt
n
1 2
a为常数,称为n
n
dne?t dn?1e?t de?t
L[e?t]? ?a ? ?a
ae?t
dtn
1 dtn?1
n?1 dt n
?(?n?a?n?1? ?a
1
?n?1?a
n?1 n
)e?t?F(?)e?t
F(?)
其中F(?)??n?a?n?1? ?a
?n?1?a
=0(4)是?的n次多项式.
1
为特征方程,它的根为特征根.
特征根是单根的情形
n?1 n
设?,?
, ,?
是特征方程F(?)??n?a?n?1?
a ?0的n个彼此不
a ?n?11 2
a ?
n?1
相等的根,则应相应地方程(3)有如下n个解:e?t,e?t, ,e?t.(5)我们
1 2 n
指出这n个解在区间a?t?b上线性无关,从而组成方程的基本解组.
如果?
i
(i?1,2, ,n)均为实数,则(5)是方程(3)的n个线性无关的实值
1解,而方程(3)的通解可表示为x?ce?t?c
1
e?t?
ce?t,其中c,c,
,cn2
,c
n
2
n
1 2 n 1 2
如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将称对共轭的出现.
设????i?是一特征根,则?
1 2
???i?也是特征根,因而于这对共轭复根
对应的,方程(3)有两个复值解
e(??i?)t?e?t(cos?t?isin?t),
e(??i?)t?e?t(cos?t?isin?t).
对应于特征方程的一对共轭复根????i?,我们可求得方程(3)的两个实值解e?tcos?t,e?tsin?t.
特征根有重根的情形
设特征方程有k重根???,则易知知
1
?F(k?1)F(?)?F(?)? (?)?0,F(k)
?F(k?1)
?
?a
n?k?1
先设?
1
?0,即特征方程有因子?k,于是a
n
?a ?
n?1
?0,也就是特征
根方程的形状为?n?a?n?1?
1
a
n?k
?k?0.而对应的方程(3)变为
an?kdkxdtkdnx?
a
n?k
dkx
dtk
?0,易见它有k个解1,t,t2,
tk?1,且线性无关.
dtn
1dtn?1
tk?1.特征方程的k重零根就对应于方程(3)的k个线性无关解1,t
tk?1.
当k
1
重根?
1
?0,对应于特征方程(4)的k
1
重根?
1
,方程(3)有k个解
1
,? 的me?t,te?t,t2e?t, ,tk?1e?t.同样假设特征方程(4)的其他根?
,? 的
m
1 1 1 1 1
2 3
重数依次为k k
2 3
?1,且k
k ;
k ;k
m i
k+ +k
+2 m
+
=n,?
j
??(当i?j),对应
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