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非参数假设检验
上节讨论了母体分布类型为已知时的参数假设检验问题.一般在进行参数假设检验之前,需要对母体的分布进行推断.本节将讨论母体分布的假设检验问题.因为所用的方法适用于任何分布或者仅有微弱假定分布,实质上是不依赖于分布的.在数理统计学中不依赖于分布的统计方法统称为非参数统计方法.这里所讨论的问题就是非参数假设检验问题.这里所研究的检验是如何用子样去似全母体分布,所以又称为分布拟合扰度检验,一般有两种:一是拟合母体的分布函数;另一是拟合母体分布的概率函数.这里我们只介绍三种检验方法:概率图纸法.
?2-拟合优度检验和柯尔莫哥洛夫斯米尔诺夫检验.
一,概率图纸法
这是一种比较直观和简便的检验方法.它适合于在现场使用.目前常见的概率图纸有正态,对数正态,二项分布,指数分布和威布尔分布概率图纸等.这里我们只介绍正态概率图纸,关于其它分布的概率图纸的构造原理和使用方法都是类似的
正态概率图纸的构造原理
设母体?有分布函数F(x),{N(?,?2)}表示正态分布族.需要检验假设
H :F(x)?{N(?,?2)}
0
这里?和?2均为未知常数.在原假设H为真时,通过中心化变换
0
F(x)?
1 ?xe
(t??)2
?12?2dt?
?
1
x??
??
?
e??2du??(
x??)
2??2?2?? ??
2??
2?
2
即?(?)?
???
? 服从正态N(0,1).函数u(x)是x的线性函数.
?(?)?
???
? (7.13)
在(x,u(x))直角坐标平面上是一条直线.这条直线过(?,0),且斜率为1.
?
检验步骤.
事实上,我们知道的不是母体?取出的一组子样观察值x
1
, ,x
?n
?
由格里汶科定理知道子
样的经验分布函数F
n
(x)依概率收剑于母体分布函数F(x).所以在检验母分体布函数F(x)是
否属于正态分布族时,我们以大子样的经验分布函数F
n
(x)作为母体分布的近似.若H
0
:F(x)
?∈{N(?,?2)}为真,那末点(x,F(x)),i?1, ,n,在正态概率图纸上应该在一条直线上.所
?
i i
以根据上述经验分布函数F
n
是母体分布函数F(x)很好的近似,点(x
i
,F(x
i
)),i?1,?,n,
在正态概率图纸上也应该近似地在一条直线附近.倘若点列(xi,F(xi)),不是近似地在一条直线附近,那末只能说明F(x)不属于正态分布族.根据上述想法,用正态概率图纸去检验假设H0的具体步骤如下.
整理数据
描点
目测这些点的位置,
未知参数?与?2的估计.
?若通过概率图纸检验已经知道母体服从正态分布,我们就凭目测在概率图纸上画出最靠
?
近各点(x
,F
(i) n
(x
(i)
)),i?1,?,n,的一条直线l,因为?(?)????服从正态N(0,1),所以当
?(x)?????0,即x=?时对应的概率F=0.5.因此,只要在概率图纸上面一条F=0.5的水平
?
直线.这条直线与直线l的交点的横坐标x 就可以作为参数为?的估计.又由?(x)=1时所对
0.5
应的概率F=0.8413的水平直线,这条直线与直线l的交点的横坐标为x .这个x 显然
0.8413 0.8413
x ??
满足?
0.8413
?0.84?13 ?1即??x
0.8413
?因此可以用差x
0.8413
x
0.5
估计?.
例7.8(略)见P338
二, ?
2的似体检验法
前面介绍了直观而简便的概率图纸法,它不需要很多计算就能对母体分布族作出一个统计推断,并且还能对分布所含的参数作出估计.但是这种方法因人而异,且精度不高,又不能控
制犯错误的概率.这里介绍?
2-拟合检验法,它能够像各种显著性检验一样控制犯第一类错误
的概率.
设母体?的分布函数为具有明确表达式的F(x),.我们把随机变量?的值域R分成k个互
不相容的区间A
1
??a
0
,a?,A
1 2
??a,a
1 2
?, ,A
?k
?
??a
,a
k?1 k
?这些区间不一定有相同的长度.
?设x, ,x
?
1 n
是容量为n的子样的一组观测值.n
i
为子样观测值x
1
, ,x
?n
?
中落入A的频
i
数.?nn
i
i?1
?n在这n次事件A
i
n
出
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