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混合策略纳什均衡

本章介绍各种混合策略纳什均衡的博弈。许多这类的问题需要读者去解决。有些混合策略的纳什均衡是显而易见的，如：投掷硬币（图3.8）。另一些就不那么直观了，如鹰鸽均衡（图3.10），但均衡可行性取决于问题的参数。例如，在鹰鸽博弈中，当鹰受伤的成本w增加时，玩鹰的可能性将下跌，当土地的价值v增加时，玩鹰的可能性也增加。但是，混合策略均衡在性别战中是不可信的，如图3.9，因为它表明，一个博弈方的纳什战略并不依赖于两个纯策略均衡结果的偏好强度。事实上，你之后将会知道这个混合策略均衡在演化动态（图12.17）中是不稳定的。

代数混合策略

这里有一个简单的方法来混合策略是代数混合策略。这种实例是非常程序化的，所以我将给出一个例子。读者将发现很容易进行推广。

假设Alice有一个策略集{L,R},使用混合策略ζ=αL+（1-α）R,Bob的策略

集是{U,D},使用混合策略然后我们认为Alice的支付

为正如图6.1表示Alice的复合彩票的支付。

我可以减少这种复合彩票到只有四种支付的简单彩票，（L,U）,（L,D）,

（R,U）和（R,D）,概率分别是αβ，α（1-β），（1-α）β，（1-α）（1-

β）。博弈方i的彩票支付是

图6.1.复合彩票的混合策略

想到另一种方式来定义混合策略的产量

Alice的策略组合的支付为

狮子和羚羊

外出打猎的狮子看到远方有大羚羊和小羚羊无论是单独或联合，他们将会抓住任何他们追逐的猎物，无论是单独或联合。但是，如果

他们选择不同的羚羊追，没有需要分享，而如果他们追逐相同羚羊，每个将只获得一半的猎物而其他羚羊会逃跑。假设他们的决定是独立的，大羚羊的热量值为

C，小羚羊的热量值为C，其中0CC。BA的策略是“追捕大羚羊”，LA的策

b l l b

略是“追捕小羚羊”。博弈的标准式如图所示。狮子不能区分博弈方1和博弈方

2。只有对称的纳什均衡是可以接受的。

如果（BA,BA）是纯策略均衡，有必要假定C

b

/2≥C，容易看出这个条件是

l

足够的。因为CC，，很容易知道（LA,LA）不是纳什均衡。为了找出混合策

b l

略纳什均衡，我们假定（BA,BA）不是纳什均衡，因此C2C。狮子使用BA策

b l

略的概率为α。那么另一只狮子使用BA的支付为

使用LA策略的支付是

根据两个等式，我们得出

对于这两只狮子，混合策略的支付等于混合策略中的其中一个的策略的支付，因此这个支付等于BA策略的支付，是

这很容易看出之前的分数大于1/2，因此它们应该采取混合策略。

我们也可以计算出使用LA策略的预期支付，这个结果与使用BA策略的支付一样。

专利竞赛

Rapoport和Amaldoss(1997)建立了“专利竞赛”博弈，这个博弈是“弱”的博弈方将得到4，其中任何整数金额都可以项目投资，其回报为10。但是“强”的博弈方将得到5，两个博弈方都要接受指示，哪个博弈方对专利投入最多，那个人将得到10的回报，如果他们不分胜负，那么两个都不能得到回报10。很明显弱的博弈方有5个纯策略（投资0，1，2，3，4），强的博弈方可以从0，1，2，3，4，5中选择。博弈的支付在4.3节的矩阵（g）体现了。

通过连续消除严格劣策略，每个博弈方还剩下三个策略，然后当每一个博弈方分别采用概率（3/5，1/5，1/5）和（1/5，1/5，3/5）时，这个博弈有混合策略纳什均衡。，博弈方的预期支付是（4，10）。这实际上是这个博弈的唯一的纳什均衡，尽管很难显示出来。

网球策略

在网球比赛中，发球者可以发球给接受者的反手或正手。接受者可以预见球将从反手那边还是正手那边过来。接受者将更有可能准确地回球。另一方面，发球者

反手发球比正手发球更厉害。因而，接受者正确的预计反手发球的概率是60%，正确的预计正手发球的概率是90%。如果接受者错误的估计为正手发球，将得到回报为20%的时间，如果接受者错误的估计为反手发球，将得到回报为30%的时间。博弈的标准式如图所示，找出博弈的纳什均衡。

保护生态环境博弈

三家公司（1，2，3）使用湖水用于生产。每个公司都有两个纯策略：（策略

净化污水或转移污水到湖里（策略2）。我们假设，如果零或一家公司转移其污水入湖，水仍然是纯净的，但如果两个或两个以上的企业，水是不纯的，每个企业都遭受的损失为3。净化的成本为1。

我们将展示纳什均衡是：（a）一家公司总是污染水，另两家总是净化，（b）

所有的公司都污染，（c）每一家公司污染的概率 （d）每一家公司

净化的概率是

2/3。

或者（e）