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学必求其心得,业必贵于专精
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课时达标第13讲
[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题,涉及导数的问题,离不开导数的计算,它是导数方法的基础;曲线的切线问题,有时在选择题、填空题中考查,有时会出现在解答题中的第(1)问.
一、选择题
1.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)=(D)
A.2 B.0
C.-2 D.-4
解析:f′(x)=2f′(1)+2x,令x=1,则f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,所以f′(0)=2f′(1
2.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),f′(x)为函数f(x)的导函数,则f′(0)=(D)
A.0 B.26
C.29 D.212
解析:∵f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),
∴f′(x)=x′(x-a1)…(x-a8)+x[(x-a1)·…·(x-a8)]′
=(x-a1)·…·(x-a8)+x[(x-a1)·…·(x-a8)]′,
∴f′(0)=(-a1)·(-a2)·…·(-a8)+0=a1·a2·…·a8
=(a1·a8)4=(2×4)4=(23)4=212.
3.(2017·河南八市质检)已知函数f(x)=sinx-cosx,且f′(x)=eq\f(1,2)f(x),则tan2x的值是(D)
A.-eq\f(2,3) B.-eq\f(4,3)
C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)
解析:因为f′(x)=cosx+sinx=eq\f(1,2)sinx-eq\f(1,2)cosx,
所以tanx=-3,所以tan2x=eq\f(2tanx,1-tan2x)=eq\f(-6,1-9)=eq\f(3,4),故选D.
4.已知点P在曲线y=eq\f(4,ex+1)上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(B)
A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4),π))
C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(3π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,2)))
解析:∵y=eq\f(4,ex+1),∴y′=eq\f(-4ex,?ex+1?2)=eq\f(-4ex,?ex?2+2ex+1)=eq\f(-4,ex+\f(1,ex)+2)≥-1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当ex=\f(1,ex),即x=0时取等号)),∴-1≤tanα0.
又∵0≤απ,∴eq\f(3π,4)≤α〈π,故选B.
5.(2017·河南郑州质检)函数f(x)=excosx在点(0,f(0))处的切线方程为(C)
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
解析:∵f′(x)=excosx+ex(-sinx)=ex(cosx-sinx),∴f′(0)=e0(cos0-sin0)=1.又∵f(0)=1,∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0,故选C.
6.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=eq\f(1,3)x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f′(x)的图象,则f(-1)=(D)
A.eq\f(1,3) B.-eq\f(2,3)
C.eq\f(7,3) D.-eq\f(1,3)或eq\f(5,3)
解析:∵f′(x)=x2+2ax+a2-1,
∴f′(x)的图象开口向上,则②④排除.
若f′(x)的图象为①,此时a=0,f(-1)=eq\f(5,3);
若f′(x)的图象为③,此时a2-1=0,
又对称轴x=-a0,∴a=-1,∴f(-1)=-eq\f(1,3).
二、填空题
7.(2017·广东惠州模拟)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为5x+y+2=0.
解析:由y=-5ex+3得,y′=-5ex,所以切线的斜率k=y′|x=0=-5,所以切线方程为y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0.
8.(2017·河北邯郸模拟)曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于eq\f(1,2)log2e。
解析:∵y′=eq\f(1,xln2),∴k=eq\f(1,ln2),∴切线方程为y=eq\f(1,ln2)(x-1),
∴三角形
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