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高考中递推数列问题的求解方法及分类解析

昆十四中数学组朱志刚

数列是高中数学中很重要的内容之一,是高考的热点和重点。数列中蕴含着丰富的数学思想,而递推数列的通项问题具有很强的逻辑性,是考查逻辑推理和转化能力的好素材,因此也成为近几年高考的热点。希望大家用心体会并对高考复习有所帮助。

迭加（乘）法

在数列中有两个重要的恒等式

?a

?

n

?a ?(a

1 2

b

?a)?(a

1 3

b

?a )? ?(a

2 n

a )

n?1

b

n

?b ???2

1 b

1

???

n (bb i

n?1

?0,i?1,2,3,?)

运用这两个恒等式可以快速求解某些想邻两项之间的递推数列问题。

类型1: a

n?1

?a ?f(n)或a

n n?1

?f(n)?a

n

{a

例1．设 n

}

是首项为1的正项数列，且

(n?1)a 2

n?1

na 2

n

?a a ?0(n?1,2,3, )

?n?1 n

?

n则它的通项式是a ???。

n

分析：?

?(n?1)a

n?1

na

n

??(a

n?1

?a)?0 a

?n n

?

?0?(n?1)a

n?1

na ?0

n

a

即 n

a

n?1

?n?1

n

?a ?a

2

3????

n ?1?1?

2?????

n?1?1

故a ?1.

aaan 1 a a

a

a

a

1 2

a

n?1

2 3 n n n n

21例 ．已知数列{a}中，a

2

1

?n

?

?1,a

n?1

?a ?3n

n ，

n则通项公式a .

n

?分析： a ?a

?

n?1 n

?3n，?a

n

?a?(a

1 2

?a)?(a

1 3

?a)????? (a

2 n

a )

n?1

)?1?3?6????3n?( ?1?3n2?3n? 2

)

中31例 ．已知数列{a} a

中

3

1

n

2

?1，

且a2k

?a

2k?1

?(?1)k,a

?a

2k?1 2k

3k

，其中k?1,2,3,?

3 5 n求a ,a （2）求{a}

3 5 n

分析：(1)a

3

?3,a

5

?13 (2) a

?2k?1

?

?a

2k?1

?(?1)k?3k ?a

2k?1

a

2k?1

?(?1)k?3k

?a

2k?1

?(a

2k?1

a

2k?1

)?(a

2k?1

a

2k?3

)????? (a

3

a)?a

1 1

?(3k?3k?1?????3)???(?1)k?(?1)k?1?????(?1)1???1

??3(1?3k)

?

1?3

(?1)k?12

1

?1?

1?3k?1?

2

1?(?1)k?1,

2

?a ?a

2k

2k?1

?(?1)k?

?(?1)k?1,经检验a

2 1

?1也适合，

?2?1?3n?1?1?(?1)n?1?1,(n为奇数）

?2

2 2

??a ??2

?

?n ?1?

?

?2

3n?1?(?1)n?1,(n为偶数）

2 22

2 2

相减（除）法

{a }

例4．已知数列 n

，满足

a ?1,a

1 n

?a ?2a

1 2

3a

3

? ?(n?1)a

n?1

(n?2)

，

{a } a ?

则 n 的通项 n .

?分析： a

?

n

?a?2a

1 2

3a

3

????? (n?1)a

n?1

(n?2) ①

a

n?1

?a?2a

1 2

3a

3

????? (n?1)a

n?1

na

n

,(n?1) ②

a a a a n!

②?①：a ?a ?na,n?1?n?1(n?2) ?a ???n ?n?1???? 2?a?n?(n?1)?(n?2)???3?1?

n?1 n n a

n

n

??n!?1(

??n!

a

n?1

a a 1 2

n?2 1

当n?1时代入，a

2

?a?1，则a

1 n

??

(n?2)

?2

n}例5．已知数列{a 满