高考专题22分析和总结.docx

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难点12 等差数列、等比数列的性质运用

等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.

●难点磁场

(★★★★★)等差数列{a}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的

n

和为 .

●案例探究

x2?4［例1］已知函数f

x2?4

求f(x)的反函数f-－1(x);

1

(x－2).

设a

=1,

=－f－-1(a

)(n∈N*),求a;

1 a n n

n?1

m

设S=a2+a2+?+a2,b=S －S是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有b

n 1 2

n n n+1 n

n 25

成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.

知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.

错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，

(2)问以数列{ 1 }为桥梁求a,不易突破.

a2 n

n

1a?421技巧与方法

1

a

?4

2

1

a

n?1 n

1

得

a 2

n?1

1 =4,构造等差数列{ 1

a2 a2

n n

},从而

求得a,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.

4?

4?1

y2

1

x2?4解：

x2?4

,∵x－2,∴x=－ ,

4?1y2即y=f－-1(x

4?1

y2

(2)∵ 1

a

n?1

? 4? 1

a2

n

,? 1 ? 1

a 2 a2

n?1 n

?4，

∴{ 1 }是公差为4的等差数列，

a2

n

14n?3∵a=1, 1 =1 +4(n－1)=4n－3,∵a0,

1

4n?3

1 a2 a2 n n

n 1

1 m 25

(3)b=S

－S=a 2=

,由b ,得m ,

n n+1

n n+1

4n?1

n 25 4n?1

设g(n)= 25 ,∵g(n)= 25 在n∈N*上是减函数，

4n?1 4n?1

∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bm成立.

n 25

［例2］设等比数列{a}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和

n

的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lga}的前多少项和最

n

大？(lg2=0.3,lg3=0.4)

命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.

知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出a;进而

n

利用对数的运算性质明确数列{lga}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.

n

错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易

出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.

技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另

外，等差数列S

n

是n的二次函数，也可由函数解析式求最值.

解法一：设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有

?a?(q2m?1) aq?(q2m?1)

?1 ? 1

? q?1 q2?1

?(aq)?(aq3)?9(aq2?a

q3)

? 1 1 1

?4q ?1

1

??q?1

?

?化简得?q?1

?

解得? 3 .

?aq2?9(1?q), ??a

?108

?1 1

设数列{lga}前n项和为S,则

n n

S=lga+lgaq2+?+lgaqn－1=lga

n·q1+2+?+(n－1)

n 1 1 1 1

=nlga+1n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－1n(n－1)lg3

1 2 2

lg3

=(－ )·n2

7 ·n

+(2lg2+ lg3)

2 2

2lg2?7lg3

可见，当