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第一章习题答案
在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数,写出这个随机事件的样本空间及事件A=
“一个数是另一个数的2倍”,B=“两个数组成既约分数”中的样本点。
解?={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1)(4,2),(4,3),(4,4});
A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2);B={(1,2),(1,3},(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1)
(4,3)}
在数学系学生中任选一名学生.设事件A={选出的学生是男生},B={选出的学生是三年级学生},C={选出的学生是科普队的}.
叙述事件ABC的含义.
在什么条件下,ABC=C成立?
在什么条件下,C?B成立?
解 (1)事件ABC的含义是,选出的学生是三年级的男生,不是科普队员.
由于ABC?C,故ABC=C当且仅当C?ABC.这又当且仅当C?AB,即科普队员都是三年级的男生.
当科普队员全是三年级学生时,C是B的子事件,即C?B成立.
将下列事件用A,B,C表示出来:
(1)只有C发生;
(2)A发生而B,C都不发生;
三个事件都不发生;
三个事件至少有一个不发生;
三个事件至少有二个不发生;
三个事件恰有二个不发生;
三个事件至多有二个发生;
三个事件中不少于一个发生。
解(1)ABC;(2)ABC:(3)ABC(4)A?B?C;(5)AB?BC?AC;(6)
ABC?ABC?ABC;(7)ABC ;(8)A?B?C。
设A,B,C是三个随机事件,且p(A)?P(B)?P(C)?
1
1,P(AB)?P(CB)?0,
4
P(AC)?
8
,求A,B,C中至少有一个发生的概率.
解 设D={A,B,C中至少有一个发生},则D=A+B+C,于是
P(D)=P(A+B+C)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).
又因为
P(A)?P(B)?P(C)?1, P(AB)?P(CB)?0, P(AC)?1,
4 8
而由P(AB)=0,有P(ABC)=0,所以
P(D)?3?1?5?
4 8 8
掷两枚匀称的硬币,求它们都是正面的概率.
解 设A={出现正正},其基本事件空间可以有下面三种情况:
(Ⅰ)Ω
={同面、异面},n
1
=2.
1
(Ⅱ)Ω
={正正、反反、一正一反},n
2
=3.
2
(Ⅲ)Ω
={正正、反反、反正、正反},n
3
=4.
3
于是,根据古典概型,对于(Ⅰ)来说,由于两个都出现正面,即同面出现,因此,m
1
=1,于是有
而对于(Ⅱ)来说,m
=1,于是有
2
P(A)?1.
2
而对于(Ⅲ)来说,m
P(A)?1.
4
=1,于是有
3
P(A)?1.
3
口袋中装有4个白球,5个黑球。从中任取两个球,求取出的两个球都是白球的概率。
解试验的基本事件(样本点)总数n?C2,设A=“取得两个白球”,则A包含的基本
9
事件数m?C2,有古典概型有
4
C2 1
P(A)???4?
C2 6
9
两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投递,求:(1)第三个邮筒恰好投入一封信的概率;(2)有两个邮筒各有一封信的概率。
解(1)设事件A表示“第三个邮筒恰好投入一封信”。两封信任意投入4个邮筒,共有42种等可能投法,组成事件A的不同投法有2×3种,于是
P(A)?6?3
42 8
(2)设B表示“有两个邮筒各有一封信”,则
C2?2! 5
P(A)???4 ?
42 8
在100个产品中有70件一等品,20件二等品,10件三等品,规定一、二等品为合格品,考虑这批产品的合格率与一、二等品率的关系。
解设事件A,B分别表示产品为一、二等品,显然事件A与B互补相容,并且事件A?B
表示产品为合格品,于是
P(A)?70
,P(B)?
20,P(A?B)?
70?20?90.
100 100 100 100
可见 P(A?B)?P(A)?P(B)
三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人.如今三人各取一只,求:(1)恰好取
到自己的笔的概率;(2)都没有取到自己的笔的概率.
分析
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