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圆方程与直线与圆、圆与圆关系
一、圆的标准方程
圆的定义
条件:平面内到定点的距离等于定长的点的 集合 .
结论:定点是_圆心2.圆的标准方程
,定长是
半径 .
(1)圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2 .(2)圆心在原点,半径长为r的圆的标准方程为 x2+y2=r2
点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其圆心为(a,b),半径为r,点P(x,y),设d=|PC|= x-a2+y-b2.
0 0 0 0
位置
位置
关系
d与r
的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d r
(x-a)2+(y-b)2r2
0
0
点在圆上
d = r
(x-a)2+(y-b)2=r2
0
0
点在圆内
d r
(x-a)2+(y-b)2r2
0
0
题型一:圆的标准方程
例1.写出下列各圆的方程:
圆心在原点,半径是3;
圆心在点C(3,4)处,半径是5;
(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)处
题型二:点与圆的位置关系的判断
例2. 已知两点P(3,8)和P(5,4),求以线段PP为直径的圆的方程,并判断点M(5,3),N(3,4),
1 2 12
P(3,5)是在此圆上,在圆内,还是在圆外?
变式:若原点在圆(x-1)2+(y+2)2=m的内部,则实数m的取值范围是( )
A.m5 B.m5 C.-2m2 D.0m2
题型三:圆标准方程的求解
例3.求下列条件所决定的圆的方程:
已知圆C过两点A(5,1),B(1,3),圆心在x轴上;
求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆心的标准方程.
(3)经过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2).
变式1:圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=4C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=4
变式2:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,
点T(-1,1)在AD边所在的直线上.(1)求AD边所在直线的方程;(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
一、 圆的一般方程
圆的一般方程
12D2+E2-4F方程:当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+
1
2
D2+E2-4F
C( D E
-2,-2)
,半径为r= .
说明:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆.当且仅当
D2+E2-4F时0,表示圆:当
D2+E2-4F=0时,表示一个点 (
D E
;当D2+E2-4F0时,不表示任何图形.
-2,-2)
用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤:
①根据题意,选择_标准方程 或 一般方程 ;
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的_方程组 ;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
剖析:已知点M(x,y)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则其位置关系如下表:
位置关系代数关系
位置关系
代数关系
点M在圆外
x2+y2+Dx+Ey+F0
0 0
0
0
点M在圆上
x2+y2+Dx+Ey+F=0
0 0
0
0
点M在圆内
x2+y2+Dx+Ey+F0
0 0
0
0
题型一:圆的一般方程
5例1.圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为( )
5
5A.(2,0),5 B.(2,0),
5
C.(0,2),
D.(2,2),5
变式1:若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是( )A.R B.(-∞,1) C.(-∞,1] D.[1,+∞)
变式2:下列方程各表示什么图形:
(1)x2+y2-4x-2y+5=0;(2)x2+y2-2x+4y-4=0;(3)x2+y2+ax-3ay=0.
题型二:圆的方程求解
例2.(1)过三点A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)的圆的方程是( )A.x2+y2+4x-2y-20=0 B.x2+y2-4x+2y-20=0C.x2+y2-4x-2y-20=0 D.x2+y2+4x+4y-20=0
(2)已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为2,求圆的一般方程.
变式:(1)
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