高等代数最重要的基本概念汇总.docx

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第一章 基本概念

1.5 数环和数域

定义1 设S是复数集C的一个非空子集,如果对于S中任意两个数a、b来说，a+b,a-b,ab都在S内，那么称S是一个数环。

定义2 设F是一个数环。如果

（i）F是一个不等于零的数；

（ii）如果a、b?F,，并且b?0，a?F，那么就称F是一个数域。

b

定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。

第二章 多项式

一元多项式的定义和运算

定义1 数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式

?1? a

0

ax?a

1 2

x2? ?a

n

xn，

是非负整数而a

0

,a,a,

1 2

R中的数。

a都是n项式?1?中，a叫作零次项或常数项，axi叫作一次项，一般，a叫作

a都是

n

0 i i

定义2 若是数环R上两个一元多项式f?x?和g?x?有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说f?x?和g?x?就说是相等

f?x??g?x?

定义3 a

n

xn叫作多项式a

0

ax?a

1 2

x2?

axn，a

n n

?0的最高次项，非负整数n叫作

多项式a

0

ax?a

1 2

x2?

axn，a

n n

?0的次数。

定理2.1.1 设f?x?和g?x?是数环R上两个多项式，并且f?x??0，g?x??0，那么

?i?当f?x??g?x??0时，

?0?f?x??g?x???max??0?f?x??,?0?g?x???;

?ii? ?0?f?x?g?x????0?f?x????0?g?x??。

多项式的加法和乘法满足以下运算规则：

加法交换律：

f?x??g?x??g?x??f?x?；

加法结合律：

?f?x??g?x???h?x??f?x???g?x??h?x??；

乘法交换律：

f?x?g?x??g?x?f?x?；

乘法结合律：

?f?x?g?x??h?x??f?x??g?x?h?x??；

乘法对加法的分配律：

f?x??g?x??h?x???f?x?g?x??f?x?h?x?。

推论2.1.1 f?x?g?x??0 当且仅当f?x?和g?x?中至少有一个是零多项式推论2.1.2 若f?x?g?x??f?x?h?x?，且f?x??0，那么g?x??h?x?

多项式的整除性

设F是一个数域。f?x?是F上一元多项式环

定义 令f?x?和g?x?是数域F上多项式环f?x?的两个多项式。如果存在f?x?的多项式h?x?，使g?x??f?x?h?x?，我们说，f?x?整除（能除尽）g?x?。

多项式整除的一些基本性质：

1）如果f?x??g?x?，g?x??h?x?，那么f?x??h?x?

2）如果h?x??f?x?，h?x??g?x?，那么h?x???f?x??g?x??

,t,如果h?x??f?x?，那么对于f?x?中的任意多项式g?x?来说，h?x??f?x?g?

,t,

果h?x??f

i

?x?,i?1,2,3,

,t,那么对于f?x?中任意g

i

?x??i?1,2,3,

h?x???f?x?

1

g?x??f?x?

1 2

g?x??

2

?f?x?

i

g?x??

i

次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任意多项式。

每一个多项式f?x?都能被cf?x?整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。

如果f?x??g?x?，g?x??f?x?，那么f?x??cg?x?，这里c是F中的一个不等于零的数

设f?x?，g?x?是两个任意的多项式，并且 g?x??0。那么f?x?可以写成以下形式f?x??g?x?q?x??r?x?，这里r?x??0，或者r?x?的次数小于g?x?的次数。

定理2.2.1 设f?x?和g?x?是f?x?的任意两个多项式，并且g?x??0。那么在f?x?中可以找到多项式q?x?和r?x?，使

f?x??g?x?q?x??r?x?

（3）

这里或者r?x??0，或者r