高考数学二轮专题复习——专题三 数列第2讲.docx

第2讲 数列的求和及综合应用

一、选择题

1．已知数列

1 1 1

，

71，…，则其前n项和S

为( )

12，34

2nA．n2＋1－

2n

1

58，16

n

2nB．n2＋2－

2n

1

C．n2＋1－n1 D．n2＋2－n1

2－ 2－

??1－1??·1

1 1＋2n－1 ?

2n?2 1

解析 因为a

＝2n－1＋n，则S＝ n＋ ＝n2＋1－

n.另解：

n 2 n 2

1 1 2

用特值验证．

答案 A

－2

1a －1

1

2．(2015·青岛模拟)数列{a

}满足a

＝2，a＝n＋1 ，其前n项积为T，则T

n

015＝( )

1 1

1 n a ＋ n 2

n＋1

A.3 B．－3 C．3 D．－3

a －1 1＋a

解析 由a＝n＋1

a ＝ n，

n1n a ＋

n

1

n＋1

n＋1 1－a

所以a

＝－3

1 1 2，…，

，a＝－，a＝，a＝2 3 2

，a

＝－

，a

＝

，a

＝

n因此可推知数列{a}的项具有周期性，且一个周期内的四项之积为1.因为2015＝4×503＋3，

n

且a ＝a

＝2，a

＝a＝－3，a

1

＝a＝－.

2013 1

2014 2

2015 3 2

? 1?

则T ＝2×(－3)×?－?＝3.

2015

答案 C

? 2?

?1 1?

3．(2015·日照模拟)在数列{a

}中，a＝2，a ＝a＋ln?

＋?，则a

＝( )

n 1 n＋1 n

? n? n

A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn

C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn

n n n1 n1 n2 2 1 1解析 a＝(a－a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋a＝lnn

n n n1 n1 n2 2 1 1

– － －

－1)－ln(n－2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋lnn.

答案 A

4．(2015·临汾模拟) 1 ＋

1 1 1

＋ ＋…＋

的值为( )

22－1 32－1 42－1 （n＋1）2－1

n＋1

A.

3 n＋1

B.4－

B.

2（n＋2）

3 1? 1 ＋ 1 ?

2（n＋2）

3 1 1

? ?C.4－2?n＋1 n＋

? ?

D.2－n＋1＋n＋2

1 1 1

解析 ∵（n＋1）2－＝n2＋2n＝n（n＋2）

1

? ?1?1

? ?

＝2?n－n＋2?，

1 1 1 1

∴2 ＋2 ＋2 ＋…＋ 2

2－1 3－1 4－1 （n＋1）－1

1?1

1 1 1 1 1 1 1 ?

＝2?

－3＋2－4＋3－5＋…＋n－n＋2?

? ?

? ?1

? ?

1 1 ?

＝2?2－n＋1－n＋2?

3 1? 1 ＋ 1 ?

＝4－2?n＋1 n＋2?.

? ?

答案 C

5．各项均为正数的数列{a

}的前n项和为S，且3S

＝aa

n

，则∑a ＝( )

n

n（n＋5）

n n

3n（n＋1）

nn＋1

k＝12k

A. 2 B. 2

n（5n＋1）

C. 2

（n＋3）（n＋5）

D. 2

1 3 3 3解析 当n＝时，S＝aa，即a＝aa，∴a＝

1 3 3 3

1 12 1 12 2

2 3 3当n≥时，由 S＝aa ，可得S ＝a a

2 3 3

n nn＋1 n－1 n－1n

3 ( ) 0 3 { } 3a＝a a －a ．∵a≠，∴a －a ＝，∴a

3 ( ) 0 3 { } 3

n n n＋1 n－1 n n＋1 n－1 2n

n n（n－1）

3为公差的等差数列，∴∑a ＝a＋a＋a＋…＋a ＝3n＋

×3＝

k＝12k 2 4 6 2n 2

3n（n＋1）

2

答案 B

二、填空题

，选B.

n n 1 n1 nn16．(2015·全国Ⅱ卷)设S 是数列{a}的前n项和，且a＝－1

n n 1 n1 nn1

＋ ＋

nS＝ ．

n

1解析 由题意，得S＝a＝－，

1

1 1

又由a ＝SS ，

n＋1 nn＋1

得S －S＝SS ，

n＋1 n nn＋1

S －S

所以S≠0，所以n＋1 n＝1，

n

1 1

SS

nn＋1

即S －S＝－1，

n＋1 n

故数列?1?是以1＝－1

为首项，－1

1 1－(n－1)

?S