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单纯形法在线性规划中的应用

引言

20世纪30年代末，苏联数学家康特罗维奇研究交通运输及机械加工等部门的生产管理工作，于1939年写了《生产组织与计划中的数学方法》一书初稿，为线性规划建立数学模型及解法奠定基础,自此开始，线性规划经过不断的应用和发展，在工业、农业生产管理，交通运输的指挥调度，资源开发，商业和银行等领域得到广泛应用，显著提高了企业的经济效益。随着生产规模的扩大和经济事务变得日益繁杂，对线性规划提出了更多的理论要求，又促使这门学科迅速发展和完善。线性规划不断发展，适用领域不断拓宽，从解决技术问题的最优化设计，到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划及管理等领域都发生着作用，已成为现代科学管理的重要基础理论。

例如，在生产管理和经济活动中，经常遇到这些问题，如生产计划问题，即如何合理利用有限的人、财、物等资源，以便得到最好的经济效果；材料利用问题，即如何下料使用材最少；配料问题，即在原料供应量的限制下如何获取最大利润；劳动力安排问题，即如何用最少的劳动力来满足工作的需要；运输问题，即如何制定调运方案，使总运费最小；投资问题，即从投资项目中选取方案，使投资回报最大等等。对于这些问题，都能建立相应的线性规划模型。事实上，线性规划就是利用数学为工具，来研究在一定条件下，如何实现目标最优化。

解线性规划问题目前最常见的方法有两种，图解法和单纯形法。单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。

线性规划问题的求解方法

图解法解线性规划问题

只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下：

以变量x1为横坐标轴，x2为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。

图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。

画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。

可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。

然而，由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题，其实用意义不大。

单纯形法解线性规划问题

它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。

单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。

线性规划问题的标准化

使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式所谓标准形式是指下列形式：

maxz??n cx

j j

j?1

??n

??s?t?

??

?j1

?

ax ?b

ij j i

(i?1,?,m)

j?x ?0 (j?1,2,?,n)

j

当实际模型非标准形式时，可以通过以下变换化为标准形式：

①当目标函数为minz??ncx

j j

j?1

时，可令Z′=-Z，而将其写成为

minz????ncx

j j

j?1

求得最终解时，再求逆变换Z=-Z′即可。

②当s·t·中存在ax

i11

a x

i2 2

?a x

?in n

?

?b形式的约束条件时，可引进变量

i

??x ?b

?

n?1 i

?xn?1?0

(ax

i11

a x

i2 2

?a x)

?in n

?

便写原条件成为

?a

?i1

?x

x?a x

1 i2 2

?0

?a x

?in n

?

x ?b

n?1 i

n?1

其中的x 称为松驰变量，其作用是化不等式约束为等式约束。

n+1

同理，若该约束不是用“≤”号连接，而是用“≥”连接，则可引进松驰变量

?x

?n?1

?xn?1

?(ax

i11

?0

a x

i2 2

?a x

?in n

?

)?b

i

使原条件写成

?ax

?i11

?a x

?in n

?

x ?b