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微积分（BII）总结

chapter8多元函数微分学

多元函数的极限

先看极限是否存在（一个方向组(y=kx)或两个方向趋近于极限点（给定方向必须

当x满足极限过程时,y也满足极限过程））。如果存在，能先求的先求，能用等价

无穷小替换的就替换，最后考虑夹逼准则。

偏导数

点导数定义（多用于分段函数的分界点）

f(xx,y)f(x,y)

f(x,y)lim0000

xx®0x

f(xx,y)f(x,y)

f(x,y)limx00x00

xx00x®0x

f(x,y)xy,f(0,0)

例：求x,就是求分段函数的点偏导数

f(x,y)在(x,y)连续，但偏导数不一定存在（如：锥）

00

全微分

函数可微，则偏导数必存在（逆否命题可证明函数不可微,证明时，把右边前两

项移到左边，看它是不是的高阶无穷小）

¶z¶z

zxyo()

¶x¶y

¶z¶z

dzdxdy

¶x¶y

例：

对于某一点处的全微分，也可能要用到点导数。

多元复合函数求导

链式求导法则

z(x,y)f(u(x,y),v(x,y))

zfufv

xuxvx

链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导，乘以中间变量对自变量求偏导。

而所谓函数对第一中间变量求偏导就是说另外把两个中间变量看做不变。

小心：中间变量要带入，例：

（在计算z对u的偏导时，相当于把v,t看做不变）

这里的u,v要带入（第三行），并且z是具体的函数，所以在对中间变量求偏导

数时，偏导数可以求出来

隐函数求偏导

全微分性质的不变性

例：

①用全微分形式的不变性

两边同时取全微分，相当于（-xy）为中间变量，求出全微分后，直接出偏导

②想象z=z(x,y)即z是复合函数，两边对x,y求导也能的出来（较慢）

隐函数求导公式

一个方程

dyF

F(x,y)0x

dxF

y

zFzF

F(x,y,z)0xy

,

xFyF

zz

分母上的做函数，分子上的做一个自变量，对分子上的求偏导

如：

若求偏x，那就把方程看成z=z(x,y)对z求导。注意，x,yy独立，然而z对x，y

求导不是0

方程组

F(x,y,u,v)0

G(x,y,u,v)0

u

观察方程组，4个变量，两个等式，那么说有两个自由变量。让求,就是把方y

程组看成u=u(x,y),v=v(x,y),上下对y求导。（把分母上的变量看做函数）

空间曲线的几何应用

空间曲线的切线与法平面