高考专题9分析和总结.docx

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难点16 三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.

●难点磁场

?

(★★★★★)已知

2

3?

＜β＜α＜

4

,cos(α－β)=12

13

,sin(α+β)=－3,求sin2α的值

5

.

●案例探究

［例1］不查表求sin220°+cos280°+

3cos20°cos80°的值.

3

命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.

知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.

技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.

3解法一：sin220°+cos280°+ sin220°cos80°

3

3=1 (1－cos40°)+1 (1+cos160°)+ sin20°cos80°

3

32 2

3

=1－1cos40° 1

°+ sin20°cos(60°+20°)

+ cos160

32 2

3

=1－1cos40°+1

2 2

－sin60°sin20°)

(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+

sin20°(cos60°cos20°

33=1－1cos40°－1cos40°－ sin40°+ sin40°－3sin220°

3

3

2 4 4 4 2

=1－3cos40°－3(1－cos40°)= 1

4 4 4

3解法二：设x=sin220°+cos280°+

3

sin20°cos80°

33y=cos220°+sin280°－ cos20°sin80°，则

3

3

x+y=1+1－

sin60°=1，x－y=－cos40°+cos160°+

32

3

sin100°

3=－2sin100°sin60°+ sin100°=0

3

31 1

3

∴x=y= ，即x=sin220°+cos280°+ sin20°cos80°= .

4 4

［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=1

2

的a值，并对此时的a值求y的最大值.

命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目

知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.

错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.

技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.

a a2?4a?2

解：由y=2(cosx－ )2－ 及cosx∈［－1，1］得：

2 2

?1 (a??2)

?

?f(a)??

?

?

a2?2a?1 (?2?a?2)2

??1?4a (a?2)

∵f(a)=1,∴1－4a=1?a=1?［2,+∞)

2 2 8

故－a2－2a－1=1，解得：a=－1，此时，

2 2

1 1

y=2(cosx+ )2+ ，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，y

2 2

3?

3

=5.

max

［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+ )－

3

求函数f(x)的最小正周期；

sin2x+sinxcosx

求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；

? 7?

(3)若当x∈［ ， ］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值.

12 12

命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路.

技巧与方法：等价转化，逆向思维.

3?

3

解：(1)f(x)=2cosxsin(x+ )－

33

3

sin2x+sinxcosx

? ?

=2cosx(sinxcos +cosxsin )－

3 3

sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+

?

3cos2x=2sin(2x+ )

3

3

∴f(x)的最小正周期T=π

? ? 5?

(2)当2x+

=2kπ－ ，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.

3 2 12

? ? 7?

(3)令2sin(2x+ )=1，又x∈［ , ］,

3 2 2

? ? 3