高等代数竞赛练习题.docx

高等代数竞赛练习题

一.多项式.计算题：

1.设f(x)?x4?x3?2x2?x?1, g(x)?x3?2x2?2x?1,求(f(x),g(x)).

答案：辗转相除法求(f(x),g(x))?x2?x?1.

设f(x)?x3?tx2?x?u及g(x)?x3?(1?t)x2?1的最大公因式是一个二次多项式,求t,u.

设f(x)与g(x)是有理系数多项式且(f(x),g(x))?1,令

?(x)?(x3?1)f(x)?(x3?x2?x?1)g(x),?(x)?(x2?1)f(x)?(x2?x)g(x),求(?(x),?(x)).

设f(x),f(x)是首项系数为1的次数?3的互异多项式,设x4?x2?1|f(x3)?x4f(x3),求f(x),f(x)

1 2 1 2 1 2

的最大公因式.

证明题：

设一元多项式f(x),g(x),h(x),其中(f(x),h(x))?1,且f(x)与g(x)被h(x)除所得余式相等,

设数域F上的多项式f(x),g(x),h(x),证明存在:p(x)?P[x]使得f(x)|p(x),且g(x)|(p(x)?h(x))当且仅当(f,g)|h.

7.设f(x),g(x),h(x)?R[x],且满足以下等式:(x2?1)h(x)?(x?1)f(x)?(x?2)g(x)?0,

(x2?1)h(x)?(x?1)f(x)?(x?2)g(x)?0,证明: x2?1|f(x),x2?1|g(x).8.证明:任给非负整数n,都有x2?x?1|(xn?2?(x?1)2n?1).

设f(x)?a

0

xn?a

1

xn?1? ?a

n?1

x?a

n

?Z[x],证明:若a,a

n 0

为奇数,且f(1)及f(?1)中至少有一个为奇

数,则f(x)无有理根.

设f(x),g(x),h(x)是实系数多项式,满足f2?xg2?xh2,证明:f?g?h?0.

设p是素数,a是整数,f(x)?axp

px?1,且p2|(a?1),证明f(x)没有有理根.

证明:如果n次多项式f?x?满足f?x?f?x?,则f?x?有n重根.

设A是复数域C上的一个n阶方阵,f?x?是复数域C上的一个次数大于0的多项式,g?x?是矩阵A的最小多项式.试证明:

⑴．若d?x???f?x?,g?x?,则秩d(A)?秩f(A).⑵．f(A)可逆当且仅当f?x?与g?x?互素.

二.行列式.计算题:

xzzyxzyy

x

zz

y

xz

y

yx

?

?

?

y

yy

y

yy

?

?

?

?

?

?

z

z

z

?

x

y

z

z

z

?

z

x

2cos?1

2cos?

1

1

2cos?

0

1

?

?

0

0

0

0

2.计算n阶行列式D ?

0

1

2cos?

?

0

0

,其中??k?.

?

?

?

?

?

?

0

0

0

?

1 2cos

?

1?x?y

1 1

x?y

?1 2

?

x?y

?1 n

?

计算n阶行列式D?

x ?y

2 1

?

1?x ?y

2 2

?

x ?y

2 n

?

n1n2 n

n

1

n

2 n

n

1

2 2

?

2

2

2 2

?

2

2

2 3

?

2

?

2

? ?

2 2

?

?

n

x ?y

? 1?x ?y

计算n阶行列式D?

a a a

0 1 2

? an?2

a

n?1

a a

n?1 0

a a

?1 n?3

?

a

n?2

设D

?an?2

a

n?1

a0 ? a

n?4

a

n?3,称为循环行列式,求其行列式.

n ? ? ? ? ?

a a a

2 3 4

? a0 a

1a a a

1

1 2 3

? an?1 a0

sin2?

1

sin(?

1

??)

2

sin(?

1

??) sin(?

??3 1

?

?

??)

n

sin(?

2

??)