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7.4.1二项分布
2复习回顾本节将研究两类重要的概率模型---二项分布和超几何分布.(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)(当A与B互斥时);(3)P(AB)=P(A)·P(B)(当A与B相互独立时).前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便.那么求概率还有什么模型呢?(2)P(B|A)=;
在实际问题中,有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征,它们只包含两个可能结果.例如,检验一件产品结果为合格或不合格,飞碟射击时中靶或脱靶,医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoullitrials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n次;(2)各次试验的结果相互独立.“重复”意味着各次试验的概率相同.
掷一枚硬币结果为正面向上或反面向上;检验一件产品结果为合格或不合格;飞碟运动员射击时中靶或脱靶;医学检验结果为阳性或阴性;……掷一颗质地均匀的硬币10次;某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次;一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件;……上述试验都只包含两个可能结果.把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(1)同一个伯努利试验重复做n次;(2)各次试验的结果相互独立.n重伯努利试验:只关注事件A是否发生只关注事件A发生的次数X及其概率
随机试验伯努利试验事件AP(A)重复试验的次数n各次试验是否独立关注的随机变量X(1)(2)(3)掷硬币正面朝上0.510是正面朝上的次数射击中靶0.83是中靶的次数有放回抽产品抽到次品0.0520是抽到次品的件数思考下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少?(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.
探究某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击,中靶次数X的概率分布列是怎样的?
探究某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击,中靶次数X的概率分布列是怎样的?解:用Ai表示“第i次射击中靶”(i=0,1,2,3),则X的概率分布列为由于3次射击恰好1次中靶(2次中靶)的所有可能结果的概率相等,故为了简化表示,中靶次数X的分布列可表示为
连续射击4次,中靶次数X=2的结果有中靶次数X的分布列为思考如果连续射击4次,类比上面的分析,表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.
追问1:某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击5次,中靶次数X=2的概率是多少?追问2:某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击n次,中靶次数X的概率分布列是怎样的?追问3:在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A发生的次数X的概率分布列是怎样的?
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为3.二项分布如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).思考对比二项分布与二项式定理,你能看出它们之间的联系吗?服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率正好是二项式定理展开式的第k+1项,故有
例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率;(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.解:设A=“正面朝上”,则P(A)=0.5.用X表示事件A发生的次数,则X~B(10,0.5).(1)恰好出现5次正面朝上的概率为(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6,于是所求概率为其中的伯努利试验是什么?重复试验的次数是多少?若定义每个试验中“成功”的事件为A,则A的概率是多大?
随机变量X服从二项分布的三个前提条件:(1)每次试验都是在同一条件下进行的;(2)每一次试验都彼此相互独立;(3)每次试验出现的结果只有两个,即某事件要么发生,要么不发生.只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布,其事件A在n次独立重复试验
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我是一名长期耕耘在湖南湘西地区基层高中的教师,已带过5届高三毕业班,多年的高中班主任,备课组组长,我想把我们自己制作的教学课件和高考研习心得收获分享给大家,为大家提供高考相关资料和高中各学科的自制教学课件,助力更多的孩子们一起成长!
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