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一、 锐角三角函数的定义:
在RT?ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,则:
sinA??A的对边?a
斜边 c
cosA??A的邻边?b
斜边 c
tanA??A的对边?a
?A的邻边 b
cotA?
?A的邻边?b
?A的对边 a
常用变形:a?c?sinA;c?
a
sinA
等,由同学们自行归纳。
二、 锐角三角函数的有关性质:
1、当0°∠A90°时,0?sinA?1;0?cosA?1;tanA?0;cotA?0
2、在0°?90°之间,正弦、正切(sin、tan)的值,随角度的增大而增大;余弦、余切(cos、
cot)的值,随角度的增大而减小。
三、 同角三角函数的关系:
sin2A?cos2A?1 tanA? coAt? tanA?
1?cos2A?1 s2
1?cos2A
?1 s2iAn
cotA?
cosAsinA
常用变形:sinA?
cosA?
(用定义证明,易得,同学自行完成)
四、 正弦与余弦,正切与余切的转换关系:
a
如图1,由定义可得:sinA?
c
?cosB?cos(90??A) 同理可得:
sinA?cos(90??A) cosA?sin(90??A)tanA?cot(90??A) cotA? tan?(?9A0
五、 特殊角的三角函数值:
三角函数sin
三角函数
sin?
cos?
tan?
cot?
30°
1
2
3
2
3
3
3
45°
2
2
2
2
1
1
60°
3
2
1
2
3
3
3
230°3
2
30°
3
60°
1
C
22
2
六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结:
45°
2B C B
2
类型
类型
已知条件
解法
两直角边a、b
c? a2?b2,tanA?
直角边a ,斜边c
b? c2?a2,sinA?
aba
c
,?B?90???A
两边
,?B?90???A
一边
一锐角
直角边a,锐角A
a
?B?90???A,b?acotA,c?
sinA
斜边c,锐角A
?B?90???A,a?c?sinA,b?c?cosA
七、 三角形的面积公式:
已知?ABC中,∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c,如图2,过点A作AD⊥BC于点D。在
RT?ABD中,sinB?
AD,即:AD?AB?sinB(AD?c?sinB)
AB
S
?ABC
1
? BC?AD?
2
1
a?c?sinB?
2
1acsinB(其中:∠B为a、c的夹角)
2
同理可得:S
?ABC
?1acsinB?
2
1
bcsinA?
2
1absinC(三角形的面积公式)
2
由面积公式可得:1
2
acsinB?
1
bcsinA
2
两边同时除于1
c 得:asinB?bsinA?
a ???b
2 sinA sinB
同理可得,正弦公式: a ???b ???c
八、 余弦定理
sinA
sinB
sinC
如图2:AD?b?sinC,BD?BC?CD?a?b?cosC,在直角三角形ABD中,由勾股定理得:
AB2
?AD2
BD2
?c2
?(b?sinC)2?(a?b?cosC)2
整理得:
c2?b2sin2C?a2
2abcosC?b2cos2C?b2(sin
2C?cos2C)?a2
2abcosC
?c2
?b2
a2
2abcosC 整理得到余弦定理:c2
?a2
b2
2abcosC(∠C为a、b的夹角)
同理可得:(余弦定理及其变形)
a2?b2
c2
2bccosA cosA?
b2
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