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点面距离的几种求法

距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。

求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法：

1、利用定义作垂线，解三角形。

例1，在棱长为1 的正方，体ABCD?ABCD中,点P 在棱CC

上，且

1 1 1 1 1

CC=4CP,求点P到平面ABD

1 1

的距离。

D1 C1

B1M

B

1M

D

C

P

A B

解: ∵DC

!

//AB,∴平面ABD与平

1

面ABC

1

D是一个平面，∴点P到平面ABCD

1 1

的距离

即为所求。过点P 作PM⊥BC

!

于M，∵AB⊥面

BBCC,PM?面BBCC,∴AB⊥PM。AB ?BC

=B，

1 1 1 1 1

∴PM⊥ABCD

，∴PM就是所求的距离，又∵

! 1

?BCC?450 ， CP?3 , 在 R?CPM 中 ，

! ! 4 t !

22PM 3 3

2

2

Sin450? ?PM? ? ? .

CP 2 4 8

1

CBBC2、 转化成其它点到面的距离： AA

C

B

B

C

B

B

D

2

2

3、向量法：

d?

? ?

?AB n

?

3a.

4

?

? （其中，n

n

为平面α的法向量）

例3、在棱长为1 的正，

方体ABCD?ABCD

中,点E, F 分别是

1 1 1 1

BC,AD

的中点，求点A到平面B

EDF的距离。∥⊥

1 1 1

zC

z

C

1

B

1

D

1

F

A

1

C

E

B

D

A

x

解: 建系，如图,设点A到平面B

1

EDF的距离为d, 平面B

1

EDF的法

向量?

则：? 1 ??1

n=(x,y,z),

DE?(?1, ,0),DF?(0, ,1)

2 2

∵ D?E

?

?n ?0,D?F

?n ?0

解得n =（1,2，-1）

A?D?n?n6∴

A?

D

?n

?n

6

4、 利用三棱锥等体积法：

PBC

P

B

P?ABC

A

?V

A?PBC

点P到平面BQD的距离。

解：设点Ｐ与点Ａ到平面ＢＤＱ距离为h。

s鸟ABD= --1AB·AD_ _!

2 =—X3X4= 6,

2

QA==l 蠡？ V乒 躯 2==VQ-ABD.

l l 13

．，．一3

h

h= —

13·

1 ?6= 3

·}i·.

，一2一.

故点 P 到平面BDQ

的距离为—12

-13..

-