极限与连续高等数学课件.pptVIP

第二章极限与连续本章主要向大家介绍以下几方面内容：一、数列的极限二、函数的极限三、变量的极限四、无穷大量和无穷小量五、极限的运算法则六、两个重要极限幻灯片67幻灯片80幻灯片86幻灯片72七、函数的连续性2010英语本科群：100370989

一、数列的极限数列设函数y=f(n),其中n为正整数,n那么按自变量n增大的顺序排列的一串数f(1),f(2),f(3),…,f(n),,…称之为数列,记作{y}n或数列yn.简单地说：数列就是定义在正整数集合上的函数第一张幻灯片

例------单调减少------单调增加------有界但不单调

前面三个数列当n无限增大时的极限可分别表示为

显然，数列y无限地接近于1，可用数列y与1之差nn的绝对值可以任意地小来描述.如果用符号e表示任意小的正数，那么就可用|y?1|e表示.n于是数列y的极限现象可表述为：当n无限变大时，n就有|y?1|e.n一般地，当n无限变大时，数列y无限接近于一个常n数A的极限现象可定义如下：

定义对任意给定的正数e，总存在正数N，当n＞N时，恒有|y?A|en成立，则称数列{y}当n→∞时以A为极限。n如果数列有极限，则称该数列是收敛的

数列极限的几何意义如果把数列y中每一项都用数轴Ox上一个n点来表示，那么数列y趋向于A可解释为:存在n一充分大正整数N，当nN时，点y都落在点nA的e邻域内，而不管e有多么小(如图)，形象一点讲，数列y会密集在点A的周围.nOA?eA+eAyN+2yN+1x

发散数列：当n→∞时,数列不趋于某个固定常数A，称为发散数列.

A------收敛发散∞不确定收敛的数列一定有界返回本章目录

函数极限第一张幻灯片

当时，的极限于任意定的正数，存一个正数M，当，恒有成立，称当，函数或以极限，作

(1)y∵0x

(2)y0xy(3)0x

例

的几何意义作直线y=A?e和y=A?e不管它们之间的距离有多么小，当xN时，曲线y=f(x)一定落在这两条直线之间.yA?eAA?exON

当时，函数的极限当x→1时，和趋向于什么？显然有y01xf(x)在当x→1时是否有极限与在X=1点处是否有定义无关

定义：如果当x无限接近于x时，恒有0|f(x)-A|e(e是任意小的正数)则称当自变量x趋于x时，函数f(x)趋于A，0记作x无限接近x即为0|x-x|d.（d充分小的正数）00

几何意义是指：当0|x-x|d时，0恒有|f(x)-A|e.即A?ef(x)A?e．作两条直线：y=A?ey=A?ey=f(x)yA?eA不论它们之间的距离有多A?e么小.只要x进入的d邻域内，曲线y=f(x)就会落在这两条直线之间.Oxx0+dx?d0x0

左右极限当自变量x从不同方向趋于x时，函数f(x)0趋向于A的极限，此时称A是函数f(x)的单侧限。-----------右极限-----------左极限极限存在定理

例1试求函数≤≤解:函数f(x)在x=0处左、右极限存在但不相等，所以不存在.

函数f(x)在x=1处左、右极限存在而且相等，所以有

例2解例3解

例4设函数求解

例2,3和4说明了下列几种重要现象：(1)函数f(x)在x处极限存在，但函数f(x)在x处可00以没有定义(如例2).(2)函数f(x)在x处虽然有定义，且在x处有极限，但00两者不等，(3)函数f(x)在x处有定义，也有极限且两者相等.0

定理若x→x(或x→∞)时，函数f(x)的0极限存在,则函数f(x)在x的一个空心小0邻域内(或|x|充分大范围内)有界.

三、变量的极限设变量在变化过程中无限地趋于一个常数A，就称该变量以A为极限，记作变量y若为具体函数，则不能使用通用记号，必须在极限符号下面要写明所研究的变量的自变量的变化过程.第一张幻灯片

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四、无穷小量与无穷大量第一张幻灯片

无穷大量如果，称量是在程中的无大量，称无大。

无穷小量以零极限的量称无小量