机器人雅可比矩阵课件.pptVIP

机器人技术基础第四章机器人雅可比矩阵(ManipulatorJacobian)课程的基本要求:掌握运动和力雅可比矩阵的物理含义及基本的求解方法

4.1雅可比矩阵的定义

回顾：基本概念刚体位姿描述和齐次变换齐次坐标,欧拉角与RPY角齐次变换和齐次变换矩阵的运算操作臂运动学连杆参数、连杆坐标系连杆变换和运动学方程机器人关节空间与操作空间

关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置运动学正解操作空间关节空间运动学反解

关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度运动学正解操作空间关节空间运动学反解

4.1雅可比矩阵的定义(Jacobianmatrix)操作空间速度与关节空间速度之间的线性变换。操作臂的雅可比矩阵，建立了从关节速度向操作速度的映射关系。进行机器人操作臂的速度分析。式中，称为末端在操作空间的广义速度，简称为操作速度，为关节速度；操作臂的运动学方程，描述机器人操作臂的位移关系，建立了操作空间与是6×n的偏导数矩阵，称为操作臂的雅可比矩阵。它的第i行第j列元素为关节空间的映射关系。，i=1,2,…,6;j=1,2,…,n。刚体的齐次变换矩阵，描述刚体之间的空间位姿关系。

假设矢量y?Rm为u?R的函数ny=y(u)对于m=1,（标量对矢量的导数）y相对于u的偏导数定义为

根据上述一般数学定义，对于6关节机器人：设有6个各含6个独立变量的函数，简写为x=f(q)。求微分，注意，如果函数f(q)到f(q)是非线性的，则是q的，式子两边同除以时间的微分，16函数，写成上式中，6?6的偏导数矩阵J(q)叫做雅可比矩阵。其中

*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型

雅可比矩阵在机器人中的应用

可以把雅可比矩阵看作是关节的速度变换到操作速度V的变换矩阵在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变换矩阵。在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联系在一起的。必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。

例4.1(x,y)?2l平面2R机械手的运动学方程为y2l1?1x将平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导,则得其雅可比矩阵为

对于关节空间的某些形位q，操作臂的雅可比矩阵的秩减少、这些形位称为操作臂的奇异形位：(singularconfiguration)操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上）操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）

例4.1(x,y)?2l2yl1?1x可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位当?＝90或?＝0时,机械手的雅可比行列式为0．矩阵的22秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看机械手完全伸直(?＝0)或完全缩回(?＝180)时，机械手末端丧失2径向自由度．仅能沿切向运动，在奇异形位时，机械手2在操作空间的自由度将减少。

例4.2如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x轴以lm/s的速0度运动，求相应的关节速度解：由可以看出，只要机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵,相应的关节速度即可解出对于平面2R机械手，运动学方程为平面2R机械手的速度反解

例4.2如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x轴以lm/s的速0度运动，求相应的关节速度解：雅可比J(q)为逆雅可比可为于是得到与末端速度反解为相应的关节速度

讨论：机械手接近奇异形位时，关节速度将趋于无穷大。当?＝0；?＝180时，机械手2在水平位置，2

例：物理仿真中的雅可比矩阵约束函数C(x),单位圆上的质点位置约束为一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q的未知函数，则速度约束矩阵被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理仿真，求微分，根据力学关系，建立微分约束方程，基于物理仿真。

例子2：立体视觉雅可比矩阵两只CCD摄像机任意的安装在机器人手腕上，形成手眼机器人立体视觉系统。scenepointP(Xc,Yc,Zc)Zc{Xc,Yc,Zc}为摄像机坐标系，{x,y}为图像坐标系，imageplanepOCO为摄像机焦距fCxy{Xw,Yw,Zw}为世界坐标系，则根据上述透视投影关系,得到以世界坐标系表示的P点坐标与其投影点p的坐标(x,y)的关系：opticalcenterXcYcZwXwW摄像机成像模型Yw

对上式两边求导，得：为世界坐标系到图像坐标系的雅可比映射矩阵，它是摄像机内外参数的函数。进一步，经过立体视觉摄像机定标，得到：其中，=，k代表摄像机1，2。上式为手眼机器人跟踪系统的视觉