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中考命题研究

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化学第1期

化学

第1期

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第期

数学

第一期方程的“灵魂”——等量关系

“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是一类应用广泛的数学工具，所以等量关系可以说是方程的“灵魂”.近两年全国各地中考试卷对“方程”的考查，内容上依据的是《义务教育数学课程标准（2011年版）》，理念上体现了《义务教育数学课程标准（2022年版）》的导向，更加注重和强化方程的工具特征，凸显应用意识，注重情境创设和方程模型构建，同时渗透中国古代数学文化教育，重点考查“能根据具体问题中的数量关系列出方程”，下面分类举例说明.

一、根据实际情境，寻找等量关系——突出应用意识

例1[2023·北京21题]对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6∶4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm

【分析】本题中的相等关系比较多，我们一一来分析.

相等关系

相等关系的应用

①天头长与地头长的比是6∶4

②左边宽=右边宽=110×（天头长+地头长

设未知数：

设天头长为6xcm，则地头长为4xcm，边的宽为xcm

③装裱后的长=4×装裱后的宽

列方程：100+10x=4×[(27+2x]

解：设天头长为6x?cm,则地头长为4xcm,左、右边的宽均为xcm,

根据题意得，100+(6x+4x)=4×[27+2x]，解得x=4.

答：边的宽为4cm,天头长为24cm.

【评析】本题源于教材（人教版九上P20探究3），将“书的封面设计”改成了“对联装裱”，背景新颖，且有利于引导学生了解中国传统数学文化（中华瑰宝——对联）.此解法充分利用了题中的相等关系设未知数（设天头长为6xcm，则地头长为4xcm，边的宽为xcm），使得解法简洁，体现了中考试题“多思少算”的特点和素养立意的要求.

若本题设天头长为xcm，由“天头长与地头长的比是6∶4”，则可知地头长为，边的宽为，再由“装裱后的长=4×装裱后的宽”，可得，但此方程明显要比上解中的方程复杂．所以求解此类问题除了注意题中等量关系的合理利用外，还需要注意合理设置未知数.

二、分析函数图象，寻找等量关系——突出方程与函数的联系

例2[2023·广安8题]为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（）

A．25x=103x?0.1B．25x=103x+0.1

【分析】本题中的相等关系隐藏在函数图象中，需要学生结合题中的数量关系，分析函数图象.

相等关系

相等关系的应用

①燃油汽车每千米所需的费用=3×燃气汽车每千米所需的费用—0.1

未知数：燃气汽车每千米所需的费用x元

②y1=25，y2=10对应的S的值相等

③S=y

列方程：25

【答案】D

【评析】等量关系呈现的形式有显性和隐性之分，对于显性的，如：×是×的几倍，×和×的和是多少，单价×数量＝总价等数量关系，几何图形的面积公式等，同学们基本上不成问题，对于隐性的等量关系，同学们除了要分析挖掘题干信息外，还要注意借助不变量找等量关系.如：年龄问题中，两人的年龄差是不变的.

三、分析几何图形，寻找等量关系——突出方程与几何的联系

例3[2023·扬州18题]如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处.如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为．

【分析】本题以正方形折叠为背景，考查线段长的计算，这类几何问题一般结合图形进行分析.

图形标注

分析图形，寻找等量关系

设FC=x，BF=BF=1-x（折叠的性质）

在Rt△BFC中，BF2＝BC2+CF2→用x表示出BC的长

四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5→S四边形ABFE=12(AE+BF)=38→用

（由折叠和正方形性质，考虑连接BB，过点F作FH⊥AD）

DH=FC=x,△EHF≌△BCB（ASA）→EH=BC=

【答案】3

【解