空间向量与立体几何.docx

1、在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量．

向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

向量具有平移不变性。

2 0

2 0

、长度为零的向量称为零向量，记为 ．零向量的方向不确定，是任意的．

3、模长为1的向量叫做单位向量．

? a?

4、长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量．a的相反向量记为－

5 a b?

5 a b

、长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量．若向量 与向量 相等，

记为a?=b?

。零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用空间

中的同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

6、空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下。

O??B??

?O??A????A?B??

?a??b? ?B?A??

?O??A???O??B??

?a??b?

O??P??

??a?(??R)

?运算律：

?

a

⑴加法交换律：

b?

?b?

a?

⑵加法结合律：

(a?

?b?)?c?

?a?

?(b?

?c?)

⑶数乘分配律：?(a?

?b?)??a?

??b?

7、共线向量

（1）共线向量定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，

则这些向量叫做共线向量，也叫做平行向量。若a?

与b?

是共线向量，则

a?//b?

记为

。零向量和空间任一向量是共线向量。

（2 a b b 0 a b? ? ?

（2 a b b 0 a b

）共线向量定理：对空间任意两个向量 、 （ ≠ ）， // 的充要条

使 ＝件是存在实数λ a? λ b

使 ＝

空间向量与立体几何. 1

（3）空间直线的向量表示式

如果直线

如果直线l是经过已知点A a

且平行于已知非零向量 的直线，那么对

任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式

???? ???? ? a?

OP?OA?ta，其中向量

注意：

叫做直线l的方向向量．

????? ?

?

①若在l上取AB a，则有

???? ???? ???? ???? ???? ????? ????? ???? ?????

OP?OA?tAB,?OP?OA?tOB?OA?(1?t)OA?tOB

②上式可解决三点P、A、B共线问题的表示或判定．

1 ???? 1???? 1????

t? OP? OA? OB

③当 2时， 2 2 ，点P为AB的中点，这是中点公式的向量

表达式．

，则???? 1 ???? ? ????

，则

????④若P分AB所成比为?

????

OP?1??OA?1??OB

三点共线：

A、B、C三点共线=

AB ? ? AC

=OC

a

? xOA ? yOB(其中x? y?1)

? a

a

与

共线的单位向量为

8、共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。或平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意的两向量都是共面的。

9、共面向量定理

? ? ?? ? ?

若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实

??? ? ?

?

数对x、y,使得p=xa yb。

10、四点共面：若A、B、C、P四点共面=

AP?xAB?yAC

=OP

?xOA?yOB?zOC(其中x?y?z?1)

空间向量与立体几何. 2

11、空间向量基本定理：如果三个向量

a?,

b,c

yb。不共面，那么对空间任一向量

yb

。

? ?p?

? ?

x,y,z，使p?

?xa??

??zc?

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的

三个有序实数

x,y,z

???? ???? ???? ????

? ? ?，

? ? ?

（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．

（2

（2 0

）由于 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，

0?

0

所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念．

由空间向量的基本定理知，若三个向量

??? ?? ? ? ?

a?,

b,c

?

? ?

不共面。那么所有空间向

?

? ?

p|p?xa?yb?zc,x,y