课题34 等比数列.docx

王新敞第三章数列（第

王新敞

第三章数列（第8课时）

高中数学教案

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新疆奎屯市一中

课 题：3.4等比数列（二）

教学目的：

灵活应用等比数列的定义及通项公式.

深刻理解等比中项概念.

熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学重点：等比中项的理解与应用

教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比

a

通常用字母q表示（q≠0），即：a

等比数列的通项公式:

n =q（q≠0）

n?1

a ?a

n 1

qn?1(a

1

q?0)，a

n

?a ?qn?m(a

m m

q?0)

｛a

n

a

｝成等比数列? n?1

a

=q（n?N?,q≠0）

n

“a≠0”是数列｛a｝成等比数列的必要非充分条件

n n

既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

二、讲解新课：

等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，

ab那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=± （a,b同号）

ab

ab如果在a 与b 中间插入一个数G，使a,G，b 成等比数列，则

ab

G?b

?G2?ab?G?? ，

a G

反之，若G2=ab,则G?b，即a,G,b成等比数列

a G

∴a,G,b成等比数列?G2=ab（a·b≠0）

等比数列的性质：若m+n=p+k，则aa ?aa

m n p k

在等比数列中，m+n=p+q，a ,a,a,a有什么关系呢？

m n p k

由定义得：a

m

?aqm?1 a

1 n

?aqn?1 a

1 p

?aqp?1 a

1 k

?a?qk?1

1

a ?a

m n

?a2qm?n?2 ，a ?a

1 p k

?a2qp?k?21

则aa

m n

?aa

p k

判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

等比数列的增减性：当q1, a

1

0或0q1, a

1

0时,{a

n

}是递增数

列;当q1, a

1

0,或0q1, a

1

0时,{a

n

}是递减数列;当q=1时,{a

n

}是常

数列;当q0时,{a}是摆动数列;

n

三、例题讲解

例1已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，

,ab?bc?

,

ab?bc?ca,3

3abc

求证：

3

也成等比数列

证明：由题设：b2=ac 得：

a?b?c?

?a?b?c?

ab?b2?bc

3b3ab?bc?ca

3b3

ab?bc?ca

3

3abc3 3 3

3abc

,ab?bc?

,

ab?bc?ca,3

∴

3

也成等比数列

3abc例2已知?

3abc

n

?,?b

n

?是项数相同的等比数列，求证?a

n

?b?是等比数列.

n

证明：设数列?a

n

?的首项是a

1

，公比为q

1

;?b

n

?的首项为b

1

，公比为q，

2

那么数列?a ?b?的第n项与第n+1项分别为：

n n

a?q

n?1?b

qn?1与a

qn?b

qn即为ab

(qq

)n?1与ab

(qq)n

1 1 1 2 1 1 1 2

a ?b ab(qq)n

11 1 2

11 1 2

?n?1 n?1???11 1 2 ?qq.

a ?b ab(qq

)n?1 1 2

n n 11 1 2

它是一个与n无关的常数，所以?a?b?是一个以qq

为公比的等比数列.

n n 12

例3 (1)已知{a}是等比数列，且a ?0,

n n

求a ?a

3 5

a a ?2aa ?aa ?25,

2 4 3 5 4 6

a?c

(2)a≠c,三数a,1,c成等差数列，a2,1,c2成等比数列，求

解：(1)∵{a}是等比数列，

n

∴a a＋2a