复变函数-总结市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件.pptx

复变函数与积分变换;1.代数形式:;2.三角形式与指数形式;§1.2复数运算;乘、除法几何意义:;按照乘积定义,当z1?0时,有;3.乘方与开方运算;1．(3分)复数;§1.3复数形式代数方程与平面几何图形;;§1.5区域;2．满足;§1.6复变函数;;等价定义：;2.函数连续性定义;1复变函数导数;复变函数导数含有与实函数一样求导法则。;例2问f(z)=x+2yi是否可导?;2.解析函数概念;4．函数;定理1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并满足Cauchy-Riemann方程.;§2.2解析函数与调和函数关系;定义2;;由;已知共轭调和函数中一个，可利用C-R方程求得另一个，从而组成一个解析函数。;从而;;§2.3初等函数;3.2三角函数;3.3双曲函数;3.4对数函数;性质：;;3.5幂函数;----n值函数;3．;§3.1复积分概念;复积分性质：;例2;§3.2柯西积分定理;于是;可将柯西积分定理推广到多连通域情况;推论（复合闭路定理）：;例1;;§3.3柯西积分公式;推论1假如C是圆周z=z0+Reiq,则柯西积分公式成为;5．设;例1;52;§3.4解析函数高阶导数;例1求以下积分值,其中C为正向圆周:|z|=r1.;Cauchy不等式：;第四章解析函数级数表示;定理三;是;定理一(阿贝尔Abel定理);;在收敛圆外部,级数发散.收敛圆内部,级数绝对收敛.收敛圆半径R称为收敛半径.所以幂级数收敛范围是以原点为中心圆域.;3)f(z)在收敛圆内能够逐项积分,即;§3泰勒级数;推论1：;推论2：;6．函数;§4洛朗级数;函数能够在以z0为中心(由奇点隔开)不一样圆环域内解析,因而在各个不一样圆环域中有不一样洛朗展开式(包含泰勒展开式作为它特例).我们不要把这种情形与洛朗展开式唯一性相混同.所谓洛朗展开式唯一性,是指函数在某一个给定圆环域内洛朗展开式是唯一.;四、(12分)将函数;（2）在;§1孤立奇点;八、(6分)设函数;因为;§2留数;称C-1为f(z)在z0留数,记作Res[f(z),z0],即;7．;2．;2.留数计算规则

规则1假如z0为f(z)一级极点,则;1．;方法二函数;3.在无穷远点留数设函数f(z)在圆环域R|z|?内解析,C为圆环域内绕原点任何一条简单闭曲线,则积分;定理二假如f(z)在扩充复平面内只有有限个???立奇点,

那末f(z)在全部各奇点(包含?点)留数总和必等于零.;规则4;留数定理是复变函数定理，又是应用到回路积分，所以要将定积分变为回路积分中一部分。;1.形如积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq有理函数.;其中f(z)是z有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,依据留数定理有;3．;88;;4．;;;第六章保形映射;8.在映射;定义设函数w=f(z)在z0邻域内是一一,在z0含有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是保形,或称w=f(z)在z0是保形映射.假如映射w=f(z)在D内每一点都是保形,就称w=f(z)是区域D内保形映射.;定理二假如函数w=f(z)在z0解析,且f(z0)?0,则映射w=f(z)在z0是保形,而且Argf(z0)表示这个映射在z0转动角,|f(z0)|表示伸缩率.假如解析函数w=f(z)在D

内是一一，且处处有f(z)?0,则映射w=f(z)是D内保形映射.;§2保形映射基本问题;六、(10分)求将区域;;问题二：已知Ｄ和定义在Ｄ上解析函数;五、(8分)求区域;§2分式线性映射;圆周对称点;;映射w=az+b和w=1/z都含有将圆周映射成圆周特征,（这里将直线看作是无穷大半径圆）这种性质称作保圆性.;z1,z2是关于圆周C一对对称点充要条件是经过z1,z2任何圆周G都与C正交.;现讨论在z平面内两个圆包围区域映射情况.依据前面讨论可知:

(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周

弧所围成区域映射成二圆弧所围成区域;

(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,这二圆

周弧所围成区域映