(26)--7.7 函数展开成幂级数（1）.pdf

高等数学

知识结构2

特殊情况

泰勒级数麦克劳林级数

第七讲

函数展开成幂级数

直接展开法

（一）

3

说明

将函数展开为幂级数的形式,在理论上和应

用中都是十分重要的.

例如,对函数作数值分析时,总离不开多项式

逼近给定的函数,而幂级数的部分和恰是多项式.

所以，有了函数展开成的幂级数,那么函数的

多项式逼近、函数值的近似计算,以及一些积分、

微分方程问题就迎刃而解了..

4



回顾已知幂级数axn,求出和函数s(x).

n

n

问题给出函数f(x),能否展开成幂级数？

回答可以.但要满足一定的条件.

一泰勒级数5

1.泰勒级数

已知函数f(x),假如可展开成幂级数，即



f(x)an(xx0)n

n0

1.如果能展开,an=?

2.展开式是否唯一?

3.在什么条件下才能展开成幂级数?

6

假设函数f(x)在点x的某邻域U(x)能展开成幂级数,即



f(x)aa(xx)a(xx)a(xx)nxU(x)

n

则由和函数的性质，

f(x)在U(x)应具有任意阶导数，且



(n)(n)!

f(x)n!a(n)!a(xx)(xx)

nn

!

故有f(n)(x)n!a

n

f(n)(x)f(x)的系数an

所以an(n