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1.事件的关系
2.运算规则(1)
(2)
(3)
(4)
3.概率满足的三条公理及性质:
(1)(2)
(3)对互不相容的事件,有(可以取)
(4)(5)
(6),若,则,
(7)
(8)
4.古典概型:基本事件有限且等可能
5.几何概率
6.条件概率
定义:若,则
乘法公式:
若为完备事件组,,则有
全概率公式:
Bayes公式:
7.事件的独立性:独立(注意独立性的应用)
第二章随机变量与概率分布
离散随机变量:取有限或可列个值,满足(1),(2)=1
(3)对任意,
连续随机变量:具有概率密度函数,满足(1);
(2);(3)对任意,
几个常用随机变量
名称与记号
分布列或密度
数学期望
方差
两点分布
,
二项式分布
,
Poisson分布
几何分布
均匀分布
,
指数分布
正态分布
分布函数,具有以下性质
(1);(2)单调非降;(3)右连续;
(4),特别;
(5)对离散随机变量,;
(6)对连续随机变量,为连续函数,且在连续点上,
正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布函数,则有
(1);(2);(3)若,则;
(4)以记标准正态分布的上侧分位数,则
随机变量的函数
(1)离散时,求的值,将相同的概率相加;
(2)连续,在的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则,若不单调,先求分布函数,再求导。
第四章随机变量的数字特征
1.期望
(1)离散时,;
(2)连续时,;
(3)二维时,
(4);(5);
(6);
(7)独立时,
2.方差
(1)方差,标准差;
(2);
(3);
(4)独立时,
3.协方差
(1);
(2);
(3);
(4)时,称不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价;
(5)
4.相关系数;有,
5.阶原点矩,阶中心矩
第五章大数定律与中心极限定理
1.Chebyshev不等式或
2.大数定律
3.中心极限定理
(1)设随机变量独立同分布,则,或或,
(2)设是次独立重复试验中发生的次数,,则对任意,有或理解为若,则
第六章样本及抽样分布
1.总体、样本
简单随机样本:即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法);
样本数字特征:
样本均值(,);
样本方差()样本标准差
样本阶原点矩,样本阶中心矩
2.统计量:样本的函数且不包含任何未知数
3.三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)
(1)分布,其中独立同分布于标准正态分布,若且独立,则;
(2)分布,其中且独立;
(3)分布,其中且独立,有下面的性质
4.正态总体的抽样分布
(1);(2);
(3)且与独立;(4);
(5),
(6)
第七章参数估计
1.矩估计:
(1)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计
2.极大似然估计:
(1)写出极大似然函数;(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到(1)直接求最大值,一般为min或max)
3.估计量的评选原则
(1)无偏性:若,则为无偏;(2)有效性:两个无偏估计中方差小的有效;
4.参数的区间估计(正态)
参数
条件
估计函数
置信区间
已知
未知
未知
26.设随机变量X与Y相互独立,且X~N(0.1),Y~N(1,4).
(1)求二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y);
(2)设(X,Y)的分布函数为F(x,y),求F(0,1).
27.设一批产品中有95%的合格品,且在合格品中一等品的占有率为60%.
求:(1)从该批产品中任取1件,其为一等品的概率;
(2)在取出的1件产品不是一等品的条件下,其为不合格品的概率.
28.设随机变量X的概率密度为
试求:(1)常数.
29.设某型号电视机的使用寿命X服从参数为1的指数分布(单位:万小时).
求:(1)该型号电视机的使用寿命超过t(t0)的概率;
该型号电视机的平均使用寿命.
30.设某批建筑材料的抗弯强度,现从中抽取容量为16的样本,测得样本均值,求的置信度为0.95的置信区间.(附:)
盒中有3个新球、1个旧球,第一次使用时从中随机取一个,用后放回,第二次使用时从中随机取两个,事件A表示“第二次取到的全是新球”,求P(A).
设总体X的概率密度为其中未知参数QUOTE,x1,x2,…,xn为来自总体X的一个样本.求QUOTE的极大似然估计QUOTE.
28.设随机变量X的概率密度为且P{X≥1}=.
求:(1)常数a,b;(2)X的分布函数F(x);(3)E(X).
29.设二维随机变量(X,Y)
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