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概率论与数理统计
第二章随机变量及其分布课后习题详解
——财务0901
习题2-1(P27)
什么是随机变量?随机变量与普通变量有什么区别?
设Ω为某一随机试验的样本空间,如果对于每一个样本点ω∈Ω,有一个实数X(ω)与之对应,这样就定义了一个Ω上的实值函数X=X(ω),称之为随机变量。
随机变量的定义域是样本空间,也就是说,当一个随机试验的结果确定时,随机变量的值也确定下来。因此,如不与某次试验联系,就不能确定随机变量的值。所谓随机变量,实际上是用变量对试验结果的一种刻画,是试验结果(即样本点)和实数之间的一个对应关系,不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在随机变量的概念中,随机变量的自变量是试验结果(即样本点)。随机变量的取值随试验结果而定。
(上题由陈菁同学提供)
一箱产品共10件,其中9件正品1件次品,一件一件无放回的抽取,直到取到次品为止,设取得次品时已取出的正品件数为X,试用X的值表示下列事件。
(1)第一次就取得次品;
(2)最后一次才取得次品;
(3)前五次都未取得次品;
(4)最迟在第三次取得次品。
解:(1)第一次取得次品,即:取出0件正品,可表示为{X=0}
(2)最后一次取得正品就是已取出9件正品,即{X=9}
(3)前五次都未取得次品,就是至少已取出5件正品,即{X5}
(4)最迟在第三次取得次品,就是最多取得两件正品,即{X2}
(上题由陈莉同学提供)
习题2-2(P31)
3.袋中装有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5,从中任取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,求随机变量X的概率分布。
解:P(X=1)=0
P(X=2)=0
P(X=3)==0.1
P(X=4)==0.3
P(X=5)==0.6
随机变量X的概率分布为:
(上题由范秋薇同学提供)
4.设随机变量X的概率分布为
P{X=k}=(k=1,2,…..9)
(1)求常数a
(2)求概率P{X=1或X=4}
(3)求概率P{-1X}
解:(1)
则P{X=k}=
(2)P{X=1或X=4}=P{X=1}+P{X=4}=+=
(3)P{-1X}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}==
(上题由黄婷同学提供)
5.一箱产品中装有3个次品,5个正品,某人从箱中任意摸出4个产品,求摸得的正品个数X的概率分布。
解:X的可能取值有1,2,3,4
所以X的概率分布为:
X
1
2
3
4
P
1/14
3/7
3/7
1/14
(上题由姬婷婷同学提供)
6.袋中共有6个球,其中2个是白球,4个是黄球。在下列两种情况下,分别求出取到白球个数X的概率分布。
(1)无放回抽取,每次抽1个,共抽3次;
解:X=0时
X=1时
X=2时
X
012
P
1/53/51/5
(2)有放回抽取,每次抽1个,共抽3次。
把每次抽到白球看作一次实验,对抽到白球的个数看作3重伯努利概型,故X服从参数为n=3,p=1/3的二项分布,即X~B(3,1/3),其概率分布为:
(上题由焦雅丽同学提供)
7.某街道共有10部公用电话,调查表明在任一时刻T每部电话被使用的概率为0.85,求在同一时刻
被使用的公用电话部数X的概率分布
至少有8部电话被使用的概率
至少有1部电话未被使用的概率
为了保证至少有1部电话未被使用的概率不小于90%,应再安装多少部公用电话?
解:(1)
(2)
(3)∵“至少有一部电话未被使用”的对立事件为“所有电话都被使用”
∴
(4)
15-10=5
∴应再安装5部电话。
(上题由孔丽芳同学提供)
8.尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的,但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数X服从参数为6的泊松分布,求明年没有此类文章的概率。
解:由题意可得:X服从参数为6的泊松分布,即=6,
所以当k=0时
=
所以明年没有此类文章的概率为.
(上题由罗丹丹同学提供)
9.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数X服从参数为4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有3次呼唤的概率;
(2)每分钟的呼唤次数大于2的概率。
解:(1)P=
=
(2)
=
=
(上题由聂思莹同学提供)
习题2-3(P36)
10、设X服从参数p=0.2的0-1分布,求随机变量X的分布函数,并作出其图形。
解:
图示Y
Y
X
0.2
1
0
1
(上题由邵俊同学提供)
11.某射手射击一个固定目标,每次命中率为0.3,每命中一次记2分,否则扣1分,求两次射击后该射手得分总数X的分布函数。
解:两次都没击中(即
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