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余弦定理、正弦定理2
1正弦定理
①正弦定理
asinA=bsinB
②变形
(1)a+b+c
(2)化边为角
a=2Rsin
a:b:c=sinA:sinB:sinC,
a
(3)化角为边
sinA=a2R,sinB=
理由a?
理由
a
a
a
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?
等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC),每个式子中都有一个sin值,并且它们的次数都是1,则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c!
同理a?sinB+
思考以下转化是否正确
(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错),
(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2
④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1)已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角;
Eg在△ABC,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,B=30°,A=45°,b=2,则边a=
(2)已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边.
Eg在△ABC,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2,a=3
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A,不能确定三角形的形状,此时三角形解可能是无解、一解、两解,要分类讨论.
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
absinA
a=bsinA
bsinAab
a≥b
ab
一解
无解
一解
两解
一解
无解
Eg求满足a=5,b=4,A=60°的三角形△ABC个数.
方法1利用正弦定理求解
由正弦定理可得:5sin60°=4
∵ab,且A为锐角,∴B有一解,故三角形只有一解;
方法2图像法
先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=235,以
2面积公式
S?ABC=
3余弦定理
①余弦定理
a
②变形
cosA=
③利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1)已知三边,可求三个角;
Eg在△ABC中,若a=4,b=3,c=13,则角C=
(2)已知两边和一角,求第三边和其他两个角.
Eg在△ABC中,A=30°,b=3,c=1,则a=.(角
在△ABC中,A=30°,b=33,a=3,则边c=.(角A不为两边的夹角)
④三角形类型的判断
∠A=π
∠Aπ
∠Aπ
⑤射影定理
a=c?cosB+b?cosC
b=a?cosC+c?cosA
c=b?cosA+a?cosB
?
【题型一】三角形最值问题
【典题1】锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asinC=3c,a=1,则△ABC周长的范围为
【典题2】边长为1的正方形ABCD的边BC上有一点P,边CD上有一点Q,满足△CPQ的周长为2.
(1)求∠QAP的大小;(2)求△APQ面积的最小值.
巩固练习
1(★★)设锐角△ABC的三内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且b=2,A=2B,则a的取值范围为.
2(★★★)在△ABC中,∠B=60°,b=3,若c?2a≤m恒成立,则m的最小值为.
3(★★★)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若c?cosB+bcosC=2a?cosA,M为BC的中点,且AM=1,则b+c的最大值是.
4(★★★)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB),b+c=4,则△ABC的面积的最大值为.
5(★★★)已知在△ABC中,∠BAC=2π3,点P在边BC上,且AP⊥AB,
(1)若PC=7,求PB.(2)求2
6(★★★)如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°
(1)若∠ABC=30°,求DC;
(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积有最小值?求出最小值.
【题型二】解三角形应用举例
【典题1】如图,一架飞机以600km/?的速度,沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行,飞行了36min后到达E地,飞机由于天气原因按命令
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