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二次方程根的分布问题
1概念
二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函数
2常见题型
①两根与k的大小比较(以a0为例)
分布情况
两根都小于k,
即x
两根都大于k,
即x
一根小于k,一根大于k,即x
大致图像
得出的结论
?0
?0
f
②两根分别在区间(m,n)外
a
a0
大致图像
得出的结论
f
f
③根在区间上的分布(以a0为例)
分布情况
两根都在(m,n)内
两根有且仅有一根在(m,n)内
一根(m,n)内,
另一根在(p,q)内
大致图像
得出的结论
?0
f
fm0
【题型一】两根与k的大小比较
【典题1】若关于x的二次方程mx2+2m?1x?m+2=0(m0)的两个互异的实根都小于1,则实数
【典题2】已知二次方程2m+1x2?2mx+m?1
【题型二】根在区间上的分布
【典题1】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0,若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则m的范围是
【典题2】方程mx2?(m?1)x+1=0在区间(0,1)内有两个不同的根,则m的取值范围为
【典题3】已知方程x2?2a+1x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0,1),(1,3
【题型三】两根分别在区间(m
【典题1】已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,则实数a
巩固练习
1(★)已知关于x的方程x2+kx+k2+k-4=0有两个实数根,且一根大于2,一根小于2,则实数
2(★)方程x2?2?ax+5?a=0的两根都大于2,则实数
3(★★)若方程7x2?m+13x?m?2=0的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2)上,则实数m
4(★★)关于x的方程x2?(a?1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根,则实数a的取值范围是
5(★★)若关于x的一元二次方程x2+ax?2=0有两个不相等的实根x1,x2,且
6(★★★)求实数m的范围,使关于x的方程x
(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小;
(2)有两个实根α,β,且满足0α1β4;
(3)至少有一个正根.
挑战学霸
二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足p
求证:(1)pf(mm+1)0;(2)方程f(x)=0
二次方程根的分布问题
1概念
二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函数
2常见题型
①两根与k的大小比较(以a0为例)
分布情况
两根都小于k,
即x
两根都大于k,
即x
一根小于k,一根大于k,即x
大致图像
得出的结论
?0
?0
f
②两根分别在区间(m,n)外
a
a0
大致图像
得出的结论
f
f
③根在区间上的分布(以a0为例)
分布情况
两根都在(m,n)内
两根有且仅有一根在(m,n)内
一根(m,n)内,
另一根在(p,q)内
大致图像
得出的结论
?0
f
fm0
【题型一】两根与k的大小比较
【典题1】若关于x的二次方程mx2+2m?1x?m+2=0(m0)的两个互异的实根都小于1
【解析】∵关于x的二次方程mx2+
则m0△=(2m?1)2
(m0开口向上,?0有两根,1?2m2m1对称轴在
f10确定最大根小于
即m0m3?7
即m的范围为(3+74,+∞),故答案为:(
【点拨】思考下,要确保题意成立,(?)中满足的四项分别属于二次函数的什么性质呢?不要其中一项是否可以,又为什么呢(结合图像)?确定仅满足这四项就行了么?
这属于对题意的必要性与充分性的思考,做到“等价转化”!
【典题2】已知二次方程2m+1x2?2mx+m?1
【解析】方法一
当2m+10时,若要满足题意,必须f0
当2m+10时,若要满足题意,必须
即2m+1f00?
方法二:(韦达定理)
设x1,x
若要满足题意,则?=4m
解得?1
【点拨】对于一些特殊根的分布问题,我们可灵活采取其他的方法.
【题型二】根在区间上的分布
【典题1】已知关于x的二次方程x2
(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则m的范围是.
【解析】设f(x)=
问题转化为抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,则
故m的范围是(?5
【点拨】需要考虑对称轴位置么?需要讨论判别式?么?
【典题2】方程mx2?(m?1)x+1=0在区间(0,1)内有两个不同的根,则m的取值范围为
【解析】构造函数fx=m
(能发现f0=1很重要,要满足题意只能m0,避免讨论
∵方程mx2?(m?1)x+1
∴m0
【典题3】已知方程x2?2a+1x+a(a+
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