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抽象函数
1概念
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数,题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.
2常见抽象函数模型
特殊模型
抽象函数
正比例函数f
f
幂函数f
fxy=f
指数函数f
fx+y=f
对数函数f
fxy=f
【题型一】求值问题
【典题1】已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),
【典题2】对任意实数x,y,均满足fx+y2=fx+2
【题型二】单调性问题
设函数y=f(x)是定义在R+
①对任意正数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x1时,f(x)0;③f3
(1)求f(1),f(1
(2)证明f(x)在R+
(3)如果不等式f(x)+f(2?x)2成立,求x的
【题型三】奇偶性问题
定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)求f(0);
(2)证明:f(x)为奇函数;
(3)若f(k?3x)+f(3x
【题型四】周期性问题
奇函数f(x)定义在R上,且对常数T0,恒有f(x+T)=f(x),则在区间[0,2T]上,方程f(x)=0根的个数最小值为.
巩固练习
1(★★)f(x)的定义域为(0,+∞),对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2,则f(2)=
2(★★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R都有fx+2?12=2f(x)
3(★★)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间[?6,6]内解的个数的最小值是.
4(★★★)已知定义在(?∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足?
①对任意x,y∈(?∞,0)∪(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y);?
②当x1时,f(x)0且f(2)=1;
(1)试判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在区间[?4,0)∪(0,?4]上的最大值;
(3)求不等式f(3x?2)+f(x)≥4的解集.
5(★★★)已知定义在(0,+∞)的函数f(x),对任意的x、y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),且当0x1时,f(x)0.
(1)证明:当x1时,f(x)0;
(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明;
(3)如果对任意的x、y∈(0,+∞),f(x2+y
6(★★★)定义在R上的单调增函数f(x)满足:对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)求f(0)的值;
(2)求证:f(x)为奇函数;
(3)若f(1+2x)+f(t?3x
挑战学霸
已知fx是定义在R上不恒为0的函数,满足对任意x,y∈R,fx+y
(1)求f(x)的零点;
(2)判断f(x)的奇偶性和单调性,并说明理由;
(3)①当x∈Z时,求f(x)的解析式;②当x∈R时,求
抽象函数
1概念
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数,题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.
2常见抽象函数模型
特殊模型
抽象函数
正比例函数f
f
幂函数f
fxy=f
指数函数f
fx+y=f
对数函数f
fxy=f
【题型一】求值问题
【典题1】已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),
【解析】∵对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),
∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2,
f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3.
【点拨】
①对于抽象函数求值问题,可大胆取特殊值求解;
②抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数fx=logax
则易得f4=2,f8=3,作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2,求f(3);由f(x+y)=f(x)f(y)可令fx
故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.
【典题2】对任意实数x,y,均满足fx+y2
则f(2001)=_______.
【解析】令x=y=0,得f(0)=0,
令x=n,y=1,得fn+1
令n=1,得f1
∴f1
∴fn+1
∴fn=n
【点拨】
①常常需要赋予一些特殊值(如取x=0等)或特殊关系(如取y
②比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001
【题型二】单调性问题
设函数y=f(x)是定义在R+
①对任意正数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x1时,f(x)0;③f3
(1)求f
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