2024年高中数学同步高分突破讲义(人教A版2019)专题3-5圆锥曲线定值问题-(选择性必修第一册)(学生版+解析).docxVIP

圆锥曲线定值问题

1定值问题

在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征.

Eg

①一个球在水平面上无论怎么滚动，球心到水平面的距离都是半径长；

②椭圆上一动点P到两焦点F1、F2的距离之和

2解决此类问题的基本策略

定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口.

①参数法

把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关；

解题步骤引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值.

②由特殊到一般法

把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关.

③几何法

根据几何关系确定相关几何量的不变.

【方法一】参数法

【典题1】已知椭圆x2a2+y2b

(1)求椭圆的方程；

(2)过F1作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点，若m⊥n，求证：1

【典题2】椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为35，P(m,0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为

(1)求C的方程；(2)求证：PA2

【典题3】已知A、B是椭圆x22+y2

(1)求实数λ的取值范围；

(2)在x轴上是否存在一个定点M，使得MA?

【典题4】一束光线从点F1(－1,0)出发，经直线l：2x－y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点

(1)求点P的坐标；

(2)求以F1、F2为焦点且过点

(3)设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

【典题5】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，以椭圆C左顶点T为圆心作圆

(1)求椭圆C的方程；

(2)求TM?TN的最小值，并求此时圆

(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点，求证：|OR|?OS

【方法二】“由特殊到一般”法

【典题1】已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a0,b0)，F1、F2分别是它的左、右焦点，A(－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线AP、AQ分别与直线x=12交于M、N两点，证明

(3)是否存在常数λ，使得∠PF2A=λ∠PA

【方法三】几何法

【典题1】已知抛物线C:y2=2px(p0)经过点

(1)求抛物线C的方程及其相应准线方程；

(2)过点E(2,0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线于M,N和P,Q四点，其中k1+k2=1．设线段MN和PQ的中点分别为A,B，过点E

【典题2】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F

(1)求椭圆的方程；

(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF

(i)若AF1－BF2=6

巩固练习

1(★★★)如图，已知椭圆C1：x24+y2=1，过抛物线C2：x2=4y焦点F的直线交抛物线于M,N两点，连接NO，MO并延长分别交C

A．若记直线NO，MO的斜率分别为k1，k

B．△OAB的面积S△OAB是定值

C．线段OA，OB长度的平方和OA

D．设λ=S△OMN

2(★★)在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足AF=λFB，

(1)求：OA?OB的值；(2)证明FM

3(★★)已知，椭圆C过点A(1,32)

(1)求椭圆C的方程；

(2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

4(★★★)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为4，上顶点为

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M、N为椭圆C上的两个动点，若OM?ON=0，问：点O到直线MN的距离d

5(★★★)已知离心率为223的椭圆x2a2+y2=1(a1)，与直线l交于

(1)求椭圆方程；

(2)若k1?k

6(★★★)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)和圆O

(1)①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；

②若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；

(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N，求证：a2

7(★★★)已知点M(－2,0),N(2,0)