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回归教材重难点07圆中的角度与长度计算
本考点是中考五星高频考点,难度较大,在全国各地市的中考试卷中均有考查。
(2022年青海省中考数学试卷第17题)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部
分,如果C是⊙O中弦AB的中点,CD经过圆心O交⊙O于点D,并且AB=4m,CD=6m,则⊙O的
半径长为m.
【分析】连接OA,如图,设⊙O的半径为rm,根据垂径定理的推论得到CD⊥AB,在Rt△AOC中利用
222
勾股定理得到2+(6﹣r)=r,然后解方程即可.
【解答】解:连接OA,如图,设⊙O的半径为rm,
∵C是⊙O中弦AB的中点,CD过圆心,
∴CD⊥AB,AC=BC=AB=2m,
在Rt△AOC中,∵OA=rm,OC=(6﹣r)m,
222
∴2+(6﹣r)=r,
解得r=,
即⊙O的半径长为m.
故答案为:.
点评:本题考查了垂径定理的推论:平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧
圆中的计算主要考察的九年级《圆的基本性质》里面的内容,其中,有关角度计算用到的知识点
有:圆心角定理、圆周角定理以及相关推论;有关长度的计算用到的考点主要有垂径定理及其推论。
在不同问题中还需要熟练掌握圆的基本性质中的考点,做到融会贯通。
本考点是中考五星高频考点,难度中等或中等偏上,个别难度较大,在全国各地市的中考试卷中均
有考查。
技法01:圆中的角度计算
①圆中角度计算口诀——圆中求角度,同弧或等弧+直径所对圆周角是90度
圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系,圆中的等角也是解决角度问
题中常见的转化关系,所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等,以及直径所对圆周角=90°的
固定关系
②圆中模型“知1得4”
由图可得以下5点:
①AB=CD;②ABCD;③OM=ON;④EF;⑤AOBCOD;
以上5个结论,知道其中任意1个,剩余的4个都可以作为结论使用。
③圆中求角度常用的其他规律:
圆内接四边形的一个外角=其内对角
折叠弧过圆心→必有30°角
以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点
圆中出现互相垂直的弦,常作两弦心距→必有矩形(当弦相等,则得正方形)
技法02:圆中的长度计算
(1)圆中线段计算口诀——“圆中求长度,垂径加勾股”
弦长、半径、直径是圆中的主要线段,相关计算主要利用垂径定理及其推论,构造“以半径、弦心
距、弦长一半为三边的直角三角形,通过勾股定理列方程求解;”
(2)圆中模型“知2得3”
由图可得以下5点:
①AB⊥CD;②AE=EB;③AD过圆心O;④ACBC;⑤ADBD;
以上5个结论,知道其中任意2个,剩余的3个都可以作为结论使用。
(3)常做辅助线:连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角=90°
(4)弧长与扇形面积:不规则图形面积想割补法
常用公式:nπrnπr21
L,SLr
扇形
1803602
【中考真题练】
1.(2022•无锡)底面半径为10cm,高为10cm的圆锥的侧面展开图的面积为()
A.200πcm2B.100πcm2C.200πcm2D.100πcm2
【分析】先求出圆锥的母线,再根据圆锥的侧面展开图的面积RL列式
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