回归教材重难点08 圆的综合题（解析版）.pdfVIP

回归教材重难点08圆的综合问题

本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。

（2022年广西柳州市中考数学试卷第25题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，

点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点

D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求sin∠FHG的值；

（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．

【分析】（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；

（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；

（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得＝＝＝

＝2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，

同法可得＝＝，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．

【解答】（1）证明：连接OF．

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA，

∵＝，

∴∠CAF＝∠FAB，

∴∠CAF＝∠AFO，

∴OF∥AC，

∵AC⊥CD，

∴OF⊥CD，

∵OF是半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，

∴∠AFB＝90°，

∵OF⊥CD，

∴∠OFD＝∠AFB＝90°，

∴∠AFO＝∠DFB，

∵∠OAF＝∠OFA，

∴∠DFB＝∠OAF，

∵GD平分∠ADF，

∴∠ADG＝∠FDG，

∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，

∴∠FGH＝∠FHG＝45°，

∴sin∠FHG＝；

（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．

∵HD平分∠ADF，

∴HM＝HN，

∵＝＝＝，

∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，

∴FH＝FG＝4，

∴＝＝2，

设DB＝k，DF＝2k，

∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，

∴△DFB∽△DAF，

∴DF2＝DB•DA，

∴AD＝4k，

∵GD平分∠ADF，

∴∠FDH＝∠ADG，

∴△FDH∽△ADG，

∴＝＝，

∴AG＝8，

∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，

∴AB＝＝＝6，

∴⊙O的直径为6．

点评：本题属于圆的综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性

质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题。

圆的综合问题包含初中数学中《圆的基本性质》和《直线与圆的位置关系》两大部分，题目一般

较为综合，常和三角形相似或三角函数结合考察。题型一般为解答题，考生在复习这块内容时，不仅

需要熟悉圆的所以性质，更需要熟悉常与之结合的几何问题的方法技巧。

本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考

查。

圆的综合问题常用的规律方法：

技法01：第一问常考考点——切线，对应规律

①切线的判定：常用方法→有切点，连半径，证垂直！

无切点，作垂直，证半径！

☆特别地：

题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”

②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！

因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题

技法02：考题常见结合考点

①知2得1：

角平分线