几何综合(解析版）.pdfVIP

1．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·20）（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分

别在AB上AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF、CE、CF，G为EF的中点，连接BG．

（1）若CE＝2，求FE的长；

（2）连接AC，求证：BG垂直平分AC；

（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB上AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF，G

为EF的中点，连接BG、CG，过F作FH∥DC交CB的延长线于H，那么（2）中的结论还成立吗？

若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．

【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，根据全等三角形的性

质得到CE＝CF，推出△ECF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；

（2）连接AG，CG，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝EF，证得AG＝CG，根据全等三角形的

性质得到∠ABG＝∠CBG，即可得到结论；

（3）延长AG交FH于M，连接CM，根据平行线的性质得到∠AEG＝∠GFM，根据全等三角形的性

质得到AG＝GM，MF＝AE，根据平行四边形的性质得到AB＝HF，通过△BAG≌△BCG，得到∠ABG＝∠

CBG，即可得到结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠CDF＝90°，

在△CBF与△CDF中，，

∴CE＝CF，

∴∠BCE＝∠DCF，

∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+ECD，

∴∠BCD＝∠ECF＝90°，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴EF＝CE＝2，

（2）如图1，连接AG，CG，

∵△ECF是等腰直角三角形，G是EF的中点，

∴CG＝EF，

∵AG＝EF，

∴AG＝CG，

在△BAG与△BCG中，，

∴△BAG≌△BCG，∠ABG＝∠CBG，

∵BA＝BC，

∴BG⊥AC，OA＝OC，

∴BG垂直平分AC；

（3）成立，理由：如图2，延长AG交FH于M，连接CM，

∵AE∥FH，

∴∠AEG＝∠GFM，

在△AEG与△MFG中，，

∴△AGE≌△MFG，

∴AG＝GM，MF＝AE，

∵FH∥AB，AF∥AE，

∴四边形ABHF是平行四边形，

∴AB＝HF，

∴BE＝HM，

∵BE＝DF＝CH，

∴CH＝HM，

∴∠MCH＝∠BCA，∠ABC+∠H＝180°，

∴∠BAC+∠BCA+∠MCH+∠HMC＝180°，

即2∠BCA+2∠HCM＝180°，

∴∠BCA+∠HCM＝90°，

∴∠ACM＝90°，

在Rt△ACM中，AG＝GM，

∴CG＝AM＝AG，

在Rt△BAG与Rt△BCG中，，

∴△BAG≌△BCG，

∴∠ABG＝∠CBG，

∵BA＝BC，

∴BG⊥AC，AO＝CO，

∴BG垂直平分AC．

【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的

判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确的做法辅助线构造全等三角形是解题的关键．

2．（2020-2021成华区八年级（下）期末·20）（10分）已知AM是DABC的中线，D是线段AM上一点

（不与点A重合）．过点D作AB的平行线，过点作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．

C

（1）【模型研究】如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）【模型推广】如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如

果不是