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2023年上海市15区中考数学一模汇编
专题10二次函数综合题(解答题24题)
一.解答题(共13小题)
1.(2022秋?黄浦区校级期末)已知抛物线y=ax2+bx﹣8(a≠0)经过A(﹣2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线y=ax2+bx﹣8(a≠0)的解析式,并求出顶点P的坐标;
(2)求∠APB的余弦值;
(3)直线y=kx+4与y轴交于点N,与直线AC的交点为M,当△MNC与△AOC相似时,求点M的坐标.
2.(2022秋?黄浦区期末)在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣1,y1),B(0,y2),C(l,y3),D(2,y4)在抛物线y=﹣x2+bx+c上.
(1)当y1=0,y2=y3时,
①求该抛物线的表达式;
②将该抛物线向下平移2个单位,再向左平移m个单位后,所得的新抛物线经过点(1,0),求m的值;
(2)若y2=0,且y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0,请结合抛物线的位置和图象特征,先写出一个满足条件的b的值,再求b的取值范围.
3.(2022秋?杨浦区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0)、B(3,0).C(2,3)三点,且与y轴交于点D.
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴;
(2)分别联结AD、DC,CB,直线y=4x+m与线段DC交于点E,当此直线将四边形ABCD的面积平分时,求m的值;
(3)设点F为该抛物线对称轴上的一点,当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时,请直接写出所有满足条件的点F的坐标.
4.(2022秋?浦东新区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的正、负半轴分别交于点B、A,与y轴交于点C,已知AB=5,tan∠CAB=3,OC:OB=3:4.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、BC交于点E、F,求EF的长;
(3)在(2)的条件下,联结CE,如果点P在该抛物线的对称轴上,当△CEP和△CEB相似时,求点P的坐标.
5.(2022秋?闵行区期末)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过A(﹣1,3)、B(2,0),点C是该抛物线上的一个动点,联结AC,与y轴的正半轴交于点D.设点C的横坐标为m.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)当=时,求点C到x轴的距离;
(3)如果过点C作x轴的垂线,垂足为点E,联结DE,当2<m<3时,在△CDE中是否存在大小保持不变的角?如果存在,请指出并求其度数;如果不存在,请说明理由.
6.(2022秋?静安区期末)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx?6(a≠0)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),交y轴于点C,联结BC,∠ABC的余切值为,AB=8,点P在抛物线上,且PO=PB.
(1)求上述抛物线的表达式;
(2)平移上述抛物线,所得新抛物线过点O和点P,新抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①求新抛物线的对称轴;
②点F在新抛物线对称轴上,且∠EOF=∠PCO,求点F的坐标.
7.(2022秋?嘉定区校级期末)在平面直角坐标系xOy(如图7)中,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣4,0)、B(﹣2,2),与y轴的交点为C.
(1)试求这个抛物线的表达式;
(2)如果这个抛物线的顶点为M,联结MB,BC,求tan∠MBC;
(3)如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D,点E在线段AB上,且∠DOE=45°,求点E的坐标.
8.(2022秋?浦东新区校级期末)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,O是坐
标原点,已知点B的坐标是(3,0),tan∠OAC=3;
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P在x轴上方的抛物线上,且∠PAB=∠CAB,求点P的坐标;
(3)点D是y轴上一动点,若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似,求出符合条件的点D的坐标.
9.(2022秋?杨浦区校级期末)如图,已知抛物线y=ax2+3x+c经过A(0,4)和两点,与x轴交于M、N两点(N在M的右侧),直线AB与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,PD⊥x轴交AB于点D.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)若点P与点N重合,连接PA,求∠DAP的正弦值;
(3)若PE∥x轴交AB于点E,若,求点E的坐标.
10.(2022秋?徐汇区期末)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,已知B点的坐标为(6,0),抛物线的对称轴为直线x=2,点D是BC上方抛物线上的一个动点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)当△BCD的面积为时,求
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