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竞赛专题17其它综合类竞赛题

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1．（2024·全国·高三竞赛）计算:=_______.

【答案】

【解析】

【详解】

留意到，.

两边积分得

.

故答案为

2．（2024·全国·高三竞赛）设是空间中体积为1的一个四面体的四个顶点.则k＝_______.

【答案】-2或1.

【解析】

【详解】

四面体体积为

或-2.

故答案为-2或1.

3．（2024·全国·高三竞赛）给定函数.则函数与反函数交点的坐标为______.

【答案】，，.

【解析】

【详解】

的反函数为.

联立方程

由式①得.

把式①、②代入上式，得，即，

于是，.

解得，；，；

（舍去负值），.

故答案为，，.

4．（2024·全国·高三竞赛）把函数的系数按其自然位置排成两行两列，记为二阶矩阵．其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素．又记的系数所组成的二阶矩阵为A的平方，即．视察二阶矩阵乘法的规律，写出中的元素________．

【答案】

【解析】

【详解】

依据二阶矩阵乘法的规律，知中的应是中第i行的元素分别乘以A中第j列对应元素的代数和，则．

故答案为

5．（2024·江西·高三竞赛）、为正整数，满意，则全部正整数对的个数为______．

【答案】4???????

【解析】

【详解】

由，知，且，

于是，

而，．

因1009为质数，数全部可能的分解式为

，，，．

其中每一个分解式对应于的一个解，故其解的个数为4．

故答案为4

6．（2024·湖南·高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的全部小三角形面积之和的值为____________________.

【答案】

【解析】

【详解】

原正三角形的面积为，而第k次一共挖去个小三角形，.因此，可以采纳等比级数求和公式，得到答案为

.

故答案为

7．（2024·湖南·高三竞赛）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____.

【答案】

【解析】

【详解】

因为，当时，若，则是一个既约分数，故当时，该分数是既约分数.

所以这个分数为.

故答案为

8．（2024·全国·高三竞赛）设为常数.若对一切，有，则实数的取值范围是____.

【答案】

【解析】

【详解】

留意到

故答案为

9．（2024·全国·高三竞赛）定义数列：，令.则的最大值为_________.

【答案】433.

【解析】

【详解】

由，知.

则，

且

.

所以，.

易知，.

从而，.

故答案为433

10．（2024·全国·高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．若圆台的高为，是下底面与夹角为的直径，则异面直线、所成角的余弦值为________．

【答案】

【解析】

【详解】

如图，设异面直线、所成角为，向量、的夹角为，以下底面中心为原点、所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则、、、.

于是，.

因此.

而，，

故.

从而，.

故答案为

11．（2024·甘肃·高三竞赛）设满意若只在点处取得最小值，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【详解】

画出平面区域如下：

由数形结合可得，即．

12．（2024·全国·高三竞赛）若函数的反函数为，且，则满意的最小正整数______．

【答案】2000

【解析】

【详解】

由条件得，．

从而，，，…，．

相加得．

令．则．

13．（2024·全国·高三竞赛）方程的解集为______．

【答案】

【解析】

【详解】

原方程两边平方得

．

14．（2024·全国·高三竞赛）已知，一元二次方程有重根.则的值是______.

【答案】

【解析】

【详解】

由于方程有重根，故，即.

设.则

.

故，

解得.

因此，.

15．（2024·全国·高三竞赛）设定义在上，其值域，且对随意，都有，及．则________．

【答案】39

【解析】

【详解】

由，知．

若，则，冲突．

因此，．

则，，，．

又，故，，，．

因为，，所以，，．

因此，．

16．（2024·全国·高三竞赛）已知，存在实数，使得当时，恒成立.则的最大值是______.

【答案】4

【解析】

【详解】

把的图像向右平移个单位，数形结合得的最大值是两个交点横坐标的较大者.

由，解得.

再由，得（舍去），.

故的最大值是4.

17．（2024·全国·高三竞赛）直角坐标平面上两曲线与围成的图形的面积为______．

【答案】1．

【解析】

【详解】

因为两曲线分别