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GPS定位问题数学建模

一、问题重述

全球定位系统（GPS）是美国国防部研制的导航定位授时系统，由24颗等间隔分布在6个轨道面上20200公里高度的卫星组成。GPS用户从接收的GPS信号可以得到足够的信息进行精密定位和定时。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，本题题目里假定它是准确值。题目中为了简化问题，假定卫星所在的空间位置是准确值。GPS信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，钟差是未知的。

今给出了4颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标(地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O与地球质心重合，Z轴指向地球北极，X轴指向经度原点E，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系),地球的半径，光速，以及4颗卫星的GPS信号到达四个GPS接收机地点处的时间。

根据4颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标见表A.1，以及4颗卫星的GPS信号到达四个GPS接收机地点处的时间见表A.2，求得四个GPS接收机地点处在地心空间直角坐标系上的坐标。然后将坐标转换成经度与纬度。

对于多于四颗卫星的问题，怎么建立一个更好的模型，才能精确的确定某个地点的位置，并将其转化为经纬度在图中标出。对于多点定位问题，应该考虑周全，误差值，偏差值，并使得每颗卫星都能准确的将其地位。

二、问题分析

在问题一的求解上，已知四颗卫星的地心直角坐标系位置，并且知道每颗卫星GPS信号到达每个地点的时间，由于卫星在发送时有时延，并且GPS接收仪在接收的过程中也会有时延，但这题题目中假定了卫星所在的空间位置是准确值，那我们就直接通过码伪距进行点定位，用派生出的线性方程组求解得到4个GPS接收仪在地心空间直角坐标系上的坐标，并通过google地球在地图上标明位置所在；

对于第二问，在通常的情况下，地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，应该周全考虑派生出的个线性方程组，因此在模型一的基础上，在码伪距的测量上对其时间误差进行考虑，从而得到，并通过卫星坐标列出四个方程组成方程组，求得新加点的坐标，并在google地球上表明。特别要注意的是，在地球上，每个点的空间直角坐标x，y，z都必须满足(R为地球的半径=6371公里)，我们将以这个式子来检验方程组解得的数据

三、模型假设

1假设每一颗卫星的发送时延都是一样的

2假设每一个GPS接收仪的接收时延都是一样的

3假设每颗卫星到达每个地点的时间值天气状况一样，所得的结果都是准确的

4忽略GPS信号在传播过程中所收到的干扰

5忽略大气层和电离层的残差对水平位置定位误差

6假定单点定位的精度不受广播星历误差和钟信息（包括选择可用性误差）的限制。

四、符号说明

符号

说明

卫星i与测站k的码伪距观测值

接收机钟差和卫星钟差之差

c

光速

Xi,Yi,Zi

卫星在的地心坐标

接收机和卫星之间的实际距离

()

随机一致性指标

a

系数矩阵

b

常数项矩阵

第j颗卫星到第i个地点的时间

接收机和卫星之间的实际距离

R

地球半径

五、模型分析、建立及求解

5.1用码伪距进行点定位：

码伪距的观测方程可表示为：

为卫星i与测站k的码伪距观测值,c为光速,为接收机钟差和卫星钟差之差，几何距离

=

并且满足：

根据以上可以列出地点位置关于卫星位置的关系等式：

*(-)

可列出第一个地点的

*(0.054354-)

*(0.0489226-)

*(0.0491307-)

*(0.0489224-)

并用检验最后的结果。

往往伪距方程解算的基本思路是将非线性观测方程进行Taylor级数展开至一阶,忽略二阶及以上的高阶项,得到线性观测方程。我们将上面的每两个相减消去二阶及以上的高阶项在此基础上派生出来的方法有解线性方程组：

a=[37006-349697441.0808e+009

1749410100-147881.0434e+009

4223416016-83681.0805e+009

522819512-18112-3.2355e+005];

b=[-5.6125e+007-11415

-5.4291e+007-7527

-5.6109e+007-15211

1.5829e+004-3796];

用MATLAB求解可以得到第一个地点在地心空间直角坐标系的坐标()大致为(-2179,4373,4081)；

同样的方法可以得到剩下的三个地点的坐标分别是

(-2174.3,4381,4090);

(-2169,4410.1,4123);

(-2159,4382.4,4142.3);

转换成经度和纬度，这四个地点就分别为

40°08′16.90161″N116°10′14.